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編譯：Apricock、睡不著的iris、JonyKai、錢天培
“損失函數”是機器學習優化中至關重要的一部分。L1、L2損失函數相信大多數人都早已不陌生。那你瞭解Huber損失、Log-Cosh損失、以及常用於計算預測區間的分位數損失麼？這些可都是機器學習大牛最常用的迴歸損失函數哦！
機器學習中所有的算法都需要最大化或最小化一個函數，這個函數被稱為“目標函數”。其中，我們一般把最小化的一類函數，稱為“損失函數”。它能根據預測結果，衡量出模型預測能力的好壞。
在實際應用中，選取損失函數會受到諸多因素的制約，比如是否有異常值、機器學習算法的選擇、梯度下降的時間複雜度、求導的難易程度以及預測值的置信度等等。因此，不存在一種損失函數適用於處理所有類型的數據。這篇文章就講介紹不同種類的損失函數以及它們的作用。
損失函數大致可分為兩類：分類問題的損失函數和迴歸問題的損失函數。在這篇文章中，我將著重介紹迴歸損失。
本文出現的代碼和圖表我們都妥妥保存在這兒了：
https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb
分類、迴歸問題損失函數對比
均方誤差
均方誤差(MSE)是最常用的迴歸損失函數，計算方法是求預測值與真實值之間距離的平方和，公式如圖。
下圖是MSE函數的圖像，其中目標值是100，預測值的範圍從-10000到10000，Y軸代表的MSE取值範圍是從0到正無窮，並且在預測值為100處達到最小。
MSE損失（Y軸）-預測值（X軸）
平均絕對值誤差（也稱L1損失）
平均絕對誤差（MAE）是另一種用於迴歸模型的損失函數。MAE是目標值和預測值之差的絕對值之和。其只衡量了預測值誤差的平均模長，而不考慮方向，取值範圍也是從0到正無窮（如果考慮方向，則是殘差/誤差的總和——平均偏差（MBE））。
MAE損失（Y軸）-預測值（X軸）
MSE（L2損失）與MAE（L1損失）的比較
簡單來說，MSE計算簡便，但MAE對異常點有更好的魯棒性。下面就來介紹導致二者差異的原因。
訓練一個機器學習模型時，我們的目標就是找到損失函數達到極小值的點。當預測值等於真實值時，這兩種函數都能達到最小。
下面是這兩種損失函數的python代碼。你可以自己編寫函數，也可以使用sklearn內置的函數。
# true: Array of true target variable# pred: Array of predictionsdef mse(true, pred): return np.sum((true - pred)**2)def mae(true, pred): return np.sum(np.abs(true - pred)) # also available in sklearnfrom sklearn.metrics import mean_squared_errorfrom sklearn.metrics import mean_absolute_error
下面讓我們觀察MAE和RMSE（即MSE的平方根，同MAE在同一量級中）在兩個例子中的計算結果。第一個例子中，預測值和真實值很接近，而且誤差的方差也較小。第二個例子中，因為存在一個異常點，而導致誤差非常大。
左圖：誤差比較接近 右圖：有一個誤差遠大於其他誤差
從圖中可以知道什麼？應當如何選擇損失函數？
MSE對誤差取了平方（令e=真實值-預測值），因此若e>1，則MSE會進一步增大誤差。如果數據中存在異常點，那麼e值就會很大，而e²則會遠大於|e|。
因此，相對於使用MAE計算損失，使用MSE的模型會賦予異常點更大的權重。在第二個例子中，用RMSE計算損失的模型會以犧牲了其他樣本的誤差為代價，朝著減小異常點誤差的方向更新。然而這就會降低模型的整體性能。
如果訓練數據被異常點所汙染，那麼MAE損失就更好用（比如，在訓練數據中存在大量錯誤的反例和正例標記，但是在測試集中沒有這個問題）。
直觀上可以這樣理解：如果我們最小化MSE來對所有的樣本點只給出一個預測值，那麼這個值一定是所有目標值的平均值。但如果是最小化MAE，那麼這個值，則會是所有樣本點目標值的中位數。眾所周知，對異常值而言，中位數比均值更加魯棒，因此MAE對於異常值也比MSE更穩定。
然而MAE存在一個嚴重的問題（特別是對於神經網絡）：更新的梯度始終相同，也就是說，即使對於很小的損失值，梯度也很大。這樣不利於模型的學習。為了解決這個缺陷，我們可以使用變化的學習率，在損失接近最小值時降低學習率。
而MSE在這種情況下的表現就很好，即便使用固定的學習率也可以有效收斂。MSE損失的梯度隨損失增大而增大，而損失趨於0時則會減小。這使得在訓練結束時，使用MSE模型的結果會更精確。
根據不同情況選擇損失函數
如果異常點代表在商業中很重要的異常情況，並且需要被檢測出來，則應選用MSE損失函數。相反，如果只把異常值當作受損數據，則應選用MAE損失函數。
推薦大家讀一下這篇文章，文中比較了分別使用L1、L2損失的迴歸模型在有無異常值時的表現。
文章網址：
http://rishy.github.io/ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/
這裡L1損失和L2損失只是MAE和MSE的別稱。
總而言之，處理異常點時，L1損失函數更穩定，但它的導數不連續，因此求解效率較低。L2損失函數對異常點更敏感，但通過令其導數為0，可以得到更穩定的封閉解。
二者兼有的問題是：在某些情況下，上述兩種損失函數都不能滿足需求。例如，若數據中90%的樣本對應的目標值為150，剩下10%在0到30之間。那麼使用MAE作為損失函數的模型可能會忽視10%的異常點，而對所有樣本的預測值都為150。
這是因為模型會按中位數來預測。而使用MSE的模型則會給出很多介於0到30的預測值，因為模型會向異常點偏移。上述兩種結果在許多商業場景中都是不可取的。
這些情況下應該怎麼辦呢？最簡單的辦法是對目標變量進行變換。而另一種辦法則是換一個損失函數，這就引出了下面要講的第三種損失函數，即Huber損失函數。
Huber損失，平滑的平均絕對誤差
Huber損失對數據中的異常點沒有平方誤差損失那麼敏感。它在0也可微分。本質上，Huber損失是絕對誤差，只是在誤差很小時，就變為平方誤差。誤差降到多小時變為二次誤差由超參數δ（delta）來控制。當Huber損失在[0-δ,0+δ]之間時，等價為MSE，而在[-∞,δ]和[δ,+∞]時為MAE。
Huber損失（Y軸）與預測值（X軸）圖示。真值取0
這裡超參數delta的選擇非常重要，因為這決定了你對與異常點的定義。當殘差大於delta，應當採用L1（對較大的異常值不那麼敏感）來最小化，而殘差小於超參數，則用L2來最小化。
為何要使用Huber損失？
使用MAE訓練神經網絡最大的一個問題就是不變的大梯度，這可能導致在使用梯度下降快要結束時，錯過了最小點。而對於MSE，梯度會隨著損失的減小而減小，使結果更加精確。
在這種情況下，Huber損失就非常有用。它會由於梯度的減小而落在最小值附近。比起MSE，它對異常點更加魯棒。因此，Huber損失結合了MSE和MAE的優點。但是，Huber損失的問題是我們可能需要不斷調整超參數delta。
Log-Cosh損失
Log-cosh是另一種應用於迴歸問題中的，且比L2更平滑的的損失函數。它的計算方式是預測誤差的雙曲餘弦的對數。
Log-cosh損失（Y軸）與預測值（X軸）圖示。真值取0
優點：對於較小的x，log(cosh(x))近似等於(x^2)/2，對於較大的x，近似等於abs(x)-log(2)。這意味著‘logcosh’基本類似於均方誤差，但不易受到異常點的影響。它具有Huber損失所有的優點，但不同於Huber損失的是，Log-cosh二階處處可微。
為什麼需要二階導數？許多機器學習模型如XGBoost，就是採用牛頓法來尋找最優點。而牛頓法就需要求解二階導數（Hessian）。因此對於諸如XGBoost這類機器學習框架，損失函數的二階可微是很有必要的。
XgBoost中使用的目標函數。注意對一階和二階導數的依賴性
但Log-cosh損失也並非完美，其仍存在某些問題。比如誤差很大的話，一階梯度和Hessian會變成定值，這就導致XGBoost出現缺少分裂點的情況。
Huber和Log-cosh損失函數的Python代碼：
# huber lossdef huber(true, pred, delta): loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2), delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2)) return np.sum(loss)# log cosh lossdef logcosh(true, pred): loss = np.log(np.cosh(pred - true))return np.sum(loss)
分位數損失
在大多數現實世界預測問題中，我們通常希望瞭解預測中的不確定性。清楚預測的範圍而非僅是估計點，對許多商業問題的決策很有幫助。
當我們更關注區間預測而不僅是點預測時，分位數損失函數就很有用。使用最小二乘迴歸進行區間預測，基於的假設是殘差（y-y_hat）是獨立變量，且方差保持不變。
一旦違背了這條假設，那麼線性迴歸模型就不成立。但是我們也不能因此就認為使用非線性函數或基於樹的模型更好，而放棄將線性迴歸模型作為基線方法。這時，分位數損失和分位數迴歸就派上用場了，因為即便對於具有變化方差或非正態分佈的殘差，基於分位數損失的迴歸也能給出合理的預測區間。
下面讓我們看一個實際的例子，以便更好地理解基於分位數損失的迴歸是如何對異方差數據起作用的。
分位數迴歸與最小二乘迴歸
左：b/wX1和Y為線性關係。具有恆定的殘差方差。右：b/wX2和Y為線性關係，但Y的方差隨著X2增加。（異方差）
橙線表示兩種情況下OLS的估值
分位數迴歸。虛線表示基於0.05和0.95分位數損失函數的迴歸
附上圖中所示分位數迴歸的代碼：
https://github.com/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/09_Quantile_Regression.ipynb
理解分位數損失函數
如何選取合適的分位值取決於我們對正誤差和反誤差的重視程度。損失函數通過分位值（γ）對高估和低估給予不同的懲罰。例如，當分位數損失函數γ=0.25時，對高估的懲罰更大，使得預測值略低於中值。
γ是所需的分位數，其值介於0和1之間。
分位數損失（Y軸）與預測值（X軸）圖示。Y的真值為0
這個損失函數也可以在神經網絡或基於樹的模型中計算預測區間。以下是用Sklearn實現梯度提升樹迴歸模型的示例。
使用分位數損失（梯度提升迴歸器）預測區間
上圖表明：在sklearn庫的梯度提升迴歸中使用分位數損失可以得到90％的預測區間。其中上限為γ=0.95，下限為γ=0.05。
對比研究
為了證明上述所有損失函數的特點，讓我們來一起看一個對比研究。首先，我們建立了一個從sinc（x）函數中採樣得到的數據集，並引入了兩項人為噪聲：高斯噪聲分量ε〜N（0，σ2）和脈衝噪聲分量ξ〜Bern（p）。
加入脈衝噪聲是為了說明模型的魯棒效果。以下是使用不同損失函數擬合GBM迴歸器的結果。
連續損失函數：（A）MSE損失函數；（B）MAE損失函數；（C）Huber損失函數；（D）分位數損失函數。將一個平滑的GBM擬合成有噪聲的sinc（x）數據的示例：（E）原始sinc（x）函數；（F）具有MSE和MAE損失的平滑GBM；（G）具有Huber損失的平滑GBM，且δ={4,2,1}；（H）具有分位數損失的平滑的GBM，且α={0.5,0.1,0.9}。
仿真對比的一些觀察結果：
- MAE損失模型的預測結果受脈衝噪聲的影響較小，而MSE損失函數的預測結果受此影響略有偏移。
- Huber損失模型預測結果對所選超參數不敏感。
- 分位數損失模型在合適的置信水平下能給出很好的估計。
最後，讓我們將所有損失函數都放進一張圖，我們就得到了下面這張漂亮的圖片！它們的區別是不是一目瞭然了呢~
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https://heartbeat.fritz.ai/5-regression-loss-functions-all-machine-learners-should-know-4fb140e9d4b0
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