在阿耶波多之後，有個來自烏賈因的人，又將負數乘法的概念引入到了數學之中，他就是本文的主角婆羅摩笈多。
婆羅摩笈多
婆羅摩笈多大約於598年出生在印多爾之北的烏賈因，他的原籍可能是現在巴基斯坦的信德。他的名字婆羅摩笈多的梵文是：Brahmagupta，其中Brahma是婆羅門教、印度教信奉的創造之神，漢語的意思是"梵天"，與溼婆、毗溼奴合稱三大神。不過他名字的後半部分"gupta"顯示他可能來自"吠舍"階層，也就是平民階層。這裡稍微介紹一下印度的種姓制度，我們都知道印度自獨立以來就已經官方廢除了種姓制度，但是這種幾千年來形成的習慣還存在於觀念之中。種姓制度將人分成四個階層：婆羅門、剎帝利、吠舍、首陀羅。婆羅門是第一等級，主要是僧侶貴族，擁有解釋宗教經典和祭神的特權以及享受奉獻的權利；剎帝利是第二等級，主要是軍事貴族和行政貴族，享受世俗的特權，保衛婆羅門；吠舍是第三等級，主要是由普通雅利安人組成，在政治上是沒有特權的，需要以佈施和納稅來供養婆羅門和剎帝利階層的人，所以他們主要從事的行業是商業；首陀羅是第四等級，是被征服的絕大多數的土著人，非雅利安人，他們主要從事一些僕役類的低賤職業。在此之外，還有一個第五種姓或者說被排除在種姓之外的人，他們被稱為"不可接觸者"，又叫"達利特"，他們的社會地位最低，也最受歧視。舉個例子就可以說明這種歧視有多嚴重：如果一個"不可接觸者"走在路上，看到對面有個高種姓的人走過來，他是需要躲起來不能讓對方看到的，因為他們不能讓自己的影子落到路人的身上；更有甚者，有的人會帶著掃帚，邊走邊掃掉自己的腳印。
種姓制度的解釋
婆羅摩笈多就是屬於"吠舍"階層的，他一生都在烏賈因工作，主要從事天文學和數學，當時的烏賈因是印度數學和天文學的三大中心之一。婆羅摩笈多在30歲左右的時候完成了《婆羅摩修正體系》一書，這本書正是對印度古老的天文著作《婆羅摩悉檀多》的引用和修正。
在《婆羅摩修正體系》中有兩章專門討論了數學，其中第12章為《算術講義》，第18章為《不定方程講義》。在《算術講義》中，婆羅摩笈多提到了負數、零和未知數符號的概念。他明確指出：正數乘負數得負數，負數乘負數得正數。婆羅摩笈多之前，包括希臘的丟番圖和中國的《九章算術》中都提到過負數的計算，但是都只限於加減法，而婆羅摩笈多則給出了負數與正數的乘除法則，這在數學思想上是一個大的突破。他還使用符號來表示未知數，這也是比丟番圖要先進的地方。不過他給出了0的算法，比如他認為0/0=0，a/0是一個分數，這個思想是不正確的。
婆羅摩笈多在《不定方程講義》中最大的貢獻就是給予了形如"Nx^2+1=y^2"的不定方程正整數解的一個方法。X^2-Ny^2=1或者Nx^2+1=y^2型的方程被稱為"佩爾方程"，實際上這是一個誤會，就如同"阿拉伯數"一樣。佩爾對此類方程並無研究，只不過是歐拉在一篇文章中不知道因為什麼把它稱為"佩爾方程"，於是這個名稱就延續下來了。實際上費馬倒是曾經研究過這類方程。不定方程後來成為印度數學研究的中心問題之一，還給予了一個專門的名稱：瓦格布拉迪。婆羅摩笈多給出的解此類不定方程的方法被稱為"婆羅摩笈多引理"，後來被歐拉重新發現。
婆羅摩笈多在67歲的時候，還寫了一本關於天文學的著作《肯德卡迪亞格》，在書中，他利用二次內插法計算出了每隔15°的正弦值。一般來說插值法的公式要歸功於牛頓，在他的《原理》一書中就用到了插值法，但很明顯牛頓不是第一個用插值法的人。婆羅摩笈多就多次用到了插值法，而在他之前，中國的劉焯在《皇極曆》中就已經用到了二次插值法。這是已知的最早的有文獻記載的使用二次插值法的記錄。
婆羅摩笈多另一個貢獻是給出了勾股數的通解公式，其實也是從上面的不定方程來的，他得出了勾股數的全部解。另外他還給出了四邊形的面積公式。婆羅摩笈多在幾何學上的成就是給出了"婆羅摩笈多定理"，有興趣的讀者可以去證明一下。
婆羅摩笈多定理
婆羅摩笈多定理：若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直於一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。
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