如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸於點A、D，交y軸於點E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=1/3，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點B的座標；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究座標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點P的座標；若不存在，請說明理由；
（4）設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關係式，並指出t的取值範圍．
考點分析：
二次函數綜合題．
題幹分析：
（1）已知A、D、E三點的座標，利用待定係數法可確定拋物線的解析式，進而能得到頂點B的座標．
（2）過B作BM⊥y軸於M，由A、B、E三點座標，可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形，易證得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可．BE、AE長易得，能求出tan∠BAE的值，結合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此證得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此題得證．
（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=1/3，即AE=3BE，若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，那麼該三角形必須滿足兩個條件：①有一個角是直角、②兩直角邊滿足1：3的比例關係；然後分情況進行求解即可．
（4）過E作EF∥x軸交AB於F，當E點運動在EF之間時，△AOE與△ABE重疊部分是個四邊形；當E點運動到F點右側時，△AOE與△ABE重疊部分是個三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關係進行求解．
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