河苦
判斷誰是君、誰是臣，有一個最簡單的辦法：行禮者為臣，受禮者為君。
比如，皇后的父母在公開場合見到皇帝、皇后，要跪地行禮。為何？因為皇帝皇后為君，國丈和丈母孃為臣。
比如，皇帝的兄弟們、大爺們、叔叔們見到皇帝，要跪地行禮，因為皇帝為君，其他人為臣。
但是，皇帝見到太后，要跪地給太后行禮，並且自稱兒臣。可見，此時的皇帝為臣，太后為君。
同理，太上皇應該和太后同樣待遇，因此，太上皇為君，皇帝為臣。
當然，以上只是禮儀上的君與臣。實際上誰說了算，那就得具體情況具體分析了。
比如漢高祖劉邦的父親劉太公，雖然頂著太上皇的名頭，實際上只是個擺設。劉邦以布衣之身打下了江山。劉太公原本就是個老實巴交的農民，對於國家大事啥都不懂，自然只能是個擺設了。
唐太宗李世民的父親李淵，比劉太公的情況好不了多少。為何？因為他是被李世民逼著退位的。退位後，雖然名義上是太上皇，實際上就是李世民的階下囚。
以上這兩位太上皇，實在是慘了點，在皇帝兒子面前，基本上沒有任何話語權。
有沒有太上皇比皇帝還牛的呢？
有。乾隆皇帝就是。
乾隆長壽，眼看著就要打破他爺爺康熙皇帝在位61年的紀錄。為了表示對爺爺的尊敬，他就主動讓位了兒子嘉慶，自己當上了太上皇。
乾隆雖然名義上讓了位，實際上一切大事還是他說了算。嘉慶就像是太子監國，橫豎都得看乾隆的眼色行事。
歷史上最窩囊的太上皇是誰呢？是宋徽宗趙佶。
當時，北宋正被金國吊打。宋徽宗為了逃避責任，就自己退縮，把皇位讓給了兒子趙恆——也就是宋欽宗，自己躲在背後當太上皇。可惜，宋欽宗也無力迴天，於是北宋亡國，爺兒倆一起被金國抓走了。
臨陣退縮，把黑鍋讓兒子去背。宋徽宗為父為君都不合格。
趣談秘史
古代的太上皇比較少，第一個太上皇是秦始皇嬴政追封的自己父親嬴異人，即是秦莊襄王嬴楚。但是這個時候嬴異人已經死了，所以也就無從談起了。下面談幾個比較有代表意義的太上皇。
第一個活著做過太上皇的人——劉邦父親劉太公。
這個時候嚴格意義上來說，劉太公是劉邦的臣子，因為整個天下都是劉邦打下來的。所以在劉邦剛剛當上皇帝的時候，劉邦給劉太公請安之時，劉太公是跪迎劉邦的。
但是劉邦於心不忍，經過和臣子的商量，劉邦冊封了自己的父親劉太公為太上皇。從此劉太公也就不用下跪迎接劉邦了。但是因為這個太上皇是劉邦冊封的，所以名義上劉太公是劉邦的臣子。
被迫讓位的唐高祖——李淵
玄武門事變之後，李世民迅速軟禁了李淵，奪取了政權，後來又做了大唐的帝王。
雖然李世民順利稱帝，但是這個時候名義上李世民還是李淵的臣子，畢竟是兒子。在李淵的9年太上皇生活中，李世民也沒有幾次去探望他。兩個人基本上也沒有了交流。實際上就仁者見仁智者見智了。
最有權勢的太上皇——乾隆
這個毋庸置疑，皇帝絕對是太上皇的臣子。乾隆做了60年皇帝后退位後做了3年多太上皇，但是這位太上皇一直把持著權力沒有放手。
這一時期稱之為皇帝訓政時期，嘉慶根本沒有任何權力，甚至連玉璽都沒有給嘉慶皇帝。所以無論實際上還是名義上嘉慶這個皇帝都是太上皇的臣子。
說了這麼多，終歸起來影響臣屬關係的是權力。誰的權力大誰就是君主，反之就是臣子。就好比明英宗不甘做沒有權力的“太上皇”發動奪門之變一樣。如果他是一個乾隆一樣的太上皇也就不用發動奪門之變了。
我是越關
最是無情帝王家
自古君王皆薄倖，最是無情帝王家。
對愛情，紅顏未老恩先斷，斜倚熏籠坐到明。
對友情，我本將心向明月，奈何明月照溝渠。
皇家本無情，只恨生在帝王家，那麼面對，曾經的皇帝，現在的太上皇，兩人的關係究竟如何？
天無二日，國無二君
古代講究“君權神授”，即天授君權，而皇帝是上天之子，是天神在人間的代表，更是一個國家的唯一象徵，所以服從皇帝的統治就是服從上天的意志。
正是因為這種主流思想的根深蒂固，所以“太上皇權”與“皇權”有著無法調和矛盾，兩人也必然會存在權利之爭。俗話說，由簡入奢易，由奢入簡難，對於已經作慣了人間共主的太上皇，其行為與意識難免還會干涉新皇，甚至將新皇當做傀儡。對於新皇而言，初得大權，自然不會輕易放棄，更不會任人魚肉。而且一個國家也同樣不能被兩種意識左右，臣民只能服從一個聲音，所以兩人必然會直接爆發衝突。
無論結局怎樣，皇權的這種排他性，是導致權力之爭的根源，也是決定了“太上皇”地位的重要因素。
普天之下，莫非王土
秦王嬴政打敗了六國，一統天下，為了顯揚自己的功業，他將帝號定為皇帝，將自己定為始皇帝，並且追尊其父莊襄王為太上皇，這是中國歷史上第一位太上皇。
太上皇是皇帝的父親或者是前一任皇帝，很少出現其他情況，所以太上皇的年齡和輩分比皇帝要大，但太上皇只是一種尊號，是皇帝的過去式，為此他的權利沒有皇帝大。
正常情況下，皇帝是君，太上皇是臣，公開場合下，皇帝為尊。但在私下場合，皇帝卻要行晚輩之禮。
雙方博弈，實力為尊
九五之尊，誘惑力太大，可以說是“引無數英雄競折腰”，而在皇權面前，親情也顯得非常淡泊。父子相殘，手足相殘之事在歷史上也是屢見不鮮，太上皇與皇帝之間的博弈也只能以一人為尊，另一人下場則是慘不忍睹。所以兩人的地位還是以實力說話。
但我國傳統以孝治天下，所以無論太上皇生前境遇如何，死後下葬禮儀，都是非常隆重的。即使是對待太上皇極為殘忍的皇帝，這時也都會跳出來，突然想起原來他是自己的父親，感情流露非常真誠，認認真真的扮演著孝子賢孫的角色。表面很難過，先父怎麼就駕鶴西去呢！但內心卻很高興，老東西終於死了。
總結一下
表面上，皇帝為君，太上皇為臣，但實際上，何人為君，何人為臣是需要用實力說話的，比如乾隆皇帝。
因為皇帝與太上皇之間，矛盾不可調和，所以皇帝們是不希望有太上皇存在的，太上皇也是非常尷尬的存在。所以皇帝常常會在“帝王權術”和“仁孝治國”中徘徊不定，難以取捨，而“太上皇”的地位也在考量中起伏不定，難以預測。
古今注
更新……
此答案確有不妥之處，多謝評論區指正，請後來者結合評論區瀏覽本答案。此外，我又瀏覽了一些相關文章，做太上皇的還有很多(包括一些小朝代在內)，原因有的是因為國事艱難，有的是受武力逼迫，還有的是自己厭倦了或者身體確實無法支撐理政但又不至於立刻死掉的，但以前兩種居多。考慮不周，非常抱歉，答案不刪，以供批評指正。
帶槍書童
太上皇是君，太上皇帝是君，皇帝也是君，太上皇帝實權大於皇帝，皇帝實權大於太上皇。太上皇與太上皇帝不一樣。
太上皇帝掌握實權，乾隆皇帝就做過太上皇帝，掌握實權，他兒子嘉慶皇帝是名義上的君，沒有實權，直到太上皇帝死了嘉慶皇帝才有實權。
太上皇沒有實權，是皇帝父親，是家人，沒有什麼政治地位，不管事。比如劉邦父親劉太公，他是第一位太上皇，但劉邦也只是好吃好喝的養著他，不使自己落個不孝的名聲而已。至於實權，劉太公連邊都沾不上，一切還要都聽兒子的。
皇帝一般掌握實權，除了一些被架空的皇帝，但不管是否被架空，是否有實權，皇帝都是君。
半畝仙客
太上皇不參與權力分配，就不算是臣，遊離於君臣關係之外，是皇帝對父親的尊號，不是冊封和恩賞，是對臣民的一種宣示:這是我爸爸，遇到記得禮讓三分，就跟劉太公一樣，根本還應劉邦跪他老子，兒子跪父母，天經地義，所以電視上皇帝跪太后或者太皇太后大家以為很正常，為什麼偏偏輪到父親就另外一種標準了呢，好比劉邦管理一個很大的公司，你在外再牛叉，父親不參與你公司事務，甚至只提供建議，你不能因為自己牛叉，翅膀硬了，就忘了本，或許父親什麼都沒給你，自己奮鬥和創業，但生命是父母給的，高於其他一切，沒有父母，他劉邦也不可能來到這個世上，建議劉太公跪劉邦的那些大臣未必正確，只是為了迎合和美化劉邦的禮法需要，但如果非親生的，比如某些太后就算冊封的，這種電視上跪皇帝，就不覺得奇怪了。但如果太上皇參與權力分配，那就另當別論了，那他就是組織中的一員，他在劉邦的公司任職，當然也要服從公司章程。
緣睦求瑜
這個問題涉及法理與倫理兩個方面，並且在中國儒家治國思想下，法理與倫理是國與家的一體兩面。首先，天無二日、國無二君，天下只有一個君就是皇帝，那其他人自然都是臣子，當然也應包括太上皇。但是自漢以降，中國走上了以孝治天下的道路，皇帝的權力來自於孝，皇太后在法律上是有廢立之權的。如此推之，太上皇權力應更大。皇太后是女人，尚不影響皇帝君的法律地位，但太上皇是男人，與皇帝相比太上皇更具有君的地位。這樣就很矛盾了！所以在法理上，太上皇是不應該存在的！實踐中也是如此，它一開始就是以反面教訓的面貌出現在歷史舞臺上的。第一個比較有影響的案例是胡服騎射的趙武靈王，結果正當盛年被不自安的兒子殺了，白白讓秦國撿了一個大便宜，否則戰國曆史可能就要改寫了。正是由於太上皇這種身份的法律地位不清，會給父子雙方的合法性都帶來極大的風險，所以後世父殺子、子弒父的屢見不鮮，但像李世民這種留條活命尊為太上皇的極少極少，恐怕僅此一例。其他宋徽宗與乾隆皇帝的太上皇也都是歷史特例，各有原委。不去細細分析了。總之，在中國法理與倫理體系下，並沒有太上皇的存在空間，它不應出現，因此也不會出現太上皇與皇帝誰為君誰為臣的困惑。
伯倫不歸792
個人認為皇帝是君，太上皇是臣。這就類似於現代社會中的一家之主，整個家庭肯定要有主事人，也就是挑大樑的，他通過自己的體力腦力支撐起整個家，而老太爺，更多是通過親情，與一家之主的聯繫，在家及家與外部聯繫中發揮作用。再有，也很像某個公司的大boss，財產登記在誰的名下，誰自然是君，至於父子，這更多是親情關係，換句話說，有皇帝在，才會有太上皇，皇帝是太上皇、太后、皇后、太子等等關係的核心，拿掉皇帝，這個體系是不存在的。當然，也不排除向乾隆這種超級太上皇存在，但他更多是戴的太上皇的帽子，做的皇帝的事，不能算一個稱職的太上皇。
看日落的人984
斗膽來發表一下愚見，皇帝是一個職權名稱，並不是一個職位，拿乾隆和嘉慶來講，嘉慶雖然做了職位上的皇帝，但沒有行使皇帝的職權，這樣的皇帝肯定是不如太上皇權利大，再拿曹操來講，挾天子以令諸侯，實際上是曹操借用漢獻帝的職位在行使皇帝的職權，職位是漢獻帝的，權利實際上被曹操掌握著。慈禧也是這個道理。說白了，就是這個問題不能以偏概全，要看是誰在行使皇帝的職權，如果是太監行使皇帝職權，皇帝只是傀儡，那太監權力也比皇帝大，不過反過頭來，君臣如果只是說名義上的，那這個問題，我認為很簡單，太上皇和皇帝都是君，但是皇帝在面對太上皇的時候是兒臣。希望採納。
追風1447285
皇帝是國家元首和行政級別最高的官員，太上皇只是宗親意義上的。如果太上皇沒有放權，比如說乾隆，那他實質上還是皇帝，而嘉慶雖是皇帝跟太子也沒啥區別。又比如說安史之亂後的李隆基，在得知太子繼位遙尊他為太上皇后，雖然他還是皇帝但聲望已不及太子，只能發佈旨意承認了這個事實，這時候的李隆基基本就退出舞臺了。
