離散數學筆記
邏輯與證明
命題定義：一個語句，如果或真或假（但不是既真又假），稱為一個命題。
定義1.1.1
p,q命題
p and q，p∧q,合取
p or q，p∨q，析取
例：
p：1+1=3
q：一個世紀時一百年
p∧q：1+1=3 並且 一個世紀是一百年
p∨q：1+1=3 或者 一個世紀是一百年
複合命題p∧q的真值表
T為真，F為假
複合命題p∨q的真值表
T為真，F為假
P的否定，表為¬p，是命題 not p
真值表
T為真，F為假
條件命題
如p則q稱為條件命題
並表為p→q
命題p稱為假設（或前件）
命題q稱為結論（或後件）
真值表
T為真，F為假
當A,B
必要條件 A是B的必要條件（B成立是A必須成立，但A成立是B不一定成立）B→A
充分條件 A是B的充分條件（A成立的時候B成立）A→B
當且僅當 A是B的充分必要條件 A↔B
當且僅當的真值表
T為真，F為假
設複合命題p和q是由p1...pn組成，如果不管p1...pn取什麼值，p和q總是同時為真或同時為假，就說p和q邏輯上是等價的，表為
p≡q
德·摩根定律
¬（p∨q）≡¬p∧¬q
真值表
一個條件命題p→q的逆反式（或轉置）是命題¬q→¬p
量詞
p：n是一個奇
p 不是一個命題
真假值取決於n
p是一個命題函數
定義
令p（x）為包括變量x的語句，令D是一個集合。
如果對於D中的任意一個x，p（x）是一個命題，我們稱p是一個命題函數（對於D），而稱D是p的個體域（定義域）。
命題函數，本身既不為真，也不為假，而對於每一個個體x，p（x）是一個命題。
語句：所有x，p（x）可以寫為Ax，p（x）(備註：Ax的A應該是上下旋轉180度的A，這個符號我打不出來)
語句：存在x，p（x）可以寫成Ex，p（x）（備註:Ex的E應該是左右旋轉180度的A，這個符號我打不出來）
Ax，p（x，y）
x是約束變量
y是自由變量
有自由變量的語句不是命題
沒有自由變量的語句可以是命題
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