你肯定聽說過“天圓地方”。站在一望無垠的地上看，大地是平的。到地球之外的天上再看，大地是曲形的球面。

而在數學家看來，平面和球面，是兩種截然不同的幾何，兩種不同的世界觀。讓我們從最簡單的面積測量開始說起。

古代由於土地測量的需要催生了幾何學。利用平面幾何知識，我們可以很容易算出自家房屋佔地面積有多大。

但如果你的領土面積再大一些呢？假如你在地球上建立了一個巨大的帝國，你的國土大得已經不能再看作一個平面圖形，該如何算出它的領土面積呢？

球面上的圓形帝國

首先讓我們先考慮簡單一點的情形。假設地球是一個標準球體，你的帝國是地球上一個巨大的圓形。如圖所示，這個圓將地球表面分為兩部分，上面那部分就是你的帝國。假設地球的半徑是 R，帝國中心到帝國邊界所在平面的距離是h，現在我們來計算帝國的面積。

我們先用若干個與邊界圓平行的平面將帝國分割為一個個細窄的環帶。每個平面間的距離是 Δh。

考慮其中一個環帶，當 Δh 足夠小時，環帶的上邊緣和下邊緣的長度相差就很小。假設環帶上一點到球心連線與帝國中心到球心連線的夾角為 θ，那麼這個環帶的邊緣的長度近似等於 2πRsinθ。

根據半徑與球面的垂直關係，可以得出這個環帶上下邊緣之間的一條最短的線段與用於切割的平面的夾角也是 θ，所以這個環帶的寬度是 Δh/sinθ。然後就可以得出這個環帶的面積是 2πR sinθ×Δh/sinθ = 2πRΔh。

從這裡可以看出，所有的環帶的面積都相等，都是 2πRΔh。

如果我們將這些環帶的面積加起來，就能得到帝國的面積是 2πRh。

如果把帝國中心到帝國邊界的直線距離記為 L，如圖，由相似三角形的關係，可以推出 2Rh = L²。所以帝國的面積可以寫為πL²，它與平面上一個半徑為 L 的圓的面積相等。

如果你征服了全球，就會有 L = 2R，根據上面的公式，你的帝國的面積是 4πR²。這正是整個地球的表面積。

實際上，上面所寫的球表面積公式以及球面上的圓面積公式最早是由古希臘的阿基米德得出的。他在《論球和圓柱》中用窮竭法證明了這個定理。

窮竭法由古希臘的安提芬( Antiphon )最早提出，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。後來，古希臘數學家歐多克斯( Eudoxus of Cnidus )做了改進，將其定義為：在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重複這個過程，可以使剩下的量變得任意小。

阿基米德進一步改進後，將其應用到對曲線、曲面以及不規則體的體積的研究和討論上，為現代積分學打開了一道隱隱的門。

球面上的三角形帝國

算出了圓形帝國的面積，我們再來考慮複雜一些的情況，假如你的帝國是地球上的一個多邊形。

先定義什麼是球面上的多邊形。在球面上，兩點間最短的距離是大圓的弧線段的長度。所謂球面上的大圓，指的是圓心與球面的球心重合的圓（例如地球的經線都是大圓，而緯線只有赤道是大圓）。

這種連接曲面上兩點的最短弧線稱為測地線，顧名思義，它是由古代的數學家們測量兩地距離時發現的。而一個球面 n 邊形，就是由 n 條測地線段首尾相連所組成的閉合圖形。

與平面的情形類似，每條測地線段稱為多邊形的邊，兩條測地線段的交點稱為頂點。頂點處兩條測地線的切線的夾角就是多邊形的內角。

不妨先算一個三角形帝國的面積。設地球的半徑為 R， △ABC 是其上一個球面三角形。我們分別以 α，β，γ表示三個頂點的內角，仍然用 △ABC 表示它的面積。延長三角形的三條邊，將其延長為完整的大圓。

球面上的兩個大圓會有兩個交點，這兩個交點是球面的一條直徑的端點，這樣的兩個點稱為對徑點。記A，B，C的對徑點分別是A'，B'，C'。

我們考慮半圓弧 ABA' 和半圓弧 ACA' 所圍成的區域。由於球面關於直徑 AA' 是旋轉對稱的，所以我們可以推出這塊區域與整個球面的面積之比為 α/2π。前面我們已經得出球面的面積公式是 4πR²。所以這塊區域的面積是 2αR²，即

△ABC + △A' BC = 2αR²

按照同樣的方法，我們還可以得出：

△ABC + △AB'C = 2βR²

△ABC + △ABC' = 2γR²

因為 △ABC' 和 △A'B'C 關於球心對稱，所以它們的面積相等：

△ABC' = △A' B' C

又由於上述三角形的其中四個可以拼成半個球面：

△ABC + △A'BC + △AB'C + △A'B'C = 2πR²

所以根據以上 5 個方程，可以解出：

△ABC = (α+β+γ－π)R²

這就是球面三角形面積公式。它最早是由英國數學家托馬斯•哈里奧特發現的，但被稱為笛沙格定理，因為法國數學家吉拉德•笛沙格最早地將這個定理發表了。

高斯眼中的球面三角形

一個很有意思的地方是，球面三角形的內角和大於π。也就是說球面幾何其實是一種 非歐幾何 。

當年，高斯在主導漢諾威公國的大地測量工作時，他通過測量三座山峰Brocken、Inselsberg、Hohehagen所構成的三角形的內角和，以此驗證非歐幾何。最終測出這個三角形的內角和為 180°0′14.85″。

不過高斯認為這什麼也證明不了，因為測量誤差可能就遠大於 14.85″。三座山峰構成的三角形太小了，只有在更大的三角形中才能看出其內角和與π的顯著差距。

此時高斯已經認識到了非歐幾何的深遠意義：非歐幾何在邏輯上是相容的，它可以來描述物質空間，和歐氏幾何一樣地正確，歐氏幾何並不是物質空間所必然有的幾何。

仿照平面幾何中的思路，我們可以把球面上的多邊形分割成若干個三角形。如此就能算出球面上多邊形的面積。

一個球面 n 邊形可以分割為 n－2 個球面三角形，對每個三角形應用上面的公式，然後把這些等式加起來，我們就得到球面上 n 邊形的面積公式：

其中 α i 是 n 邊形的 n 個內角。

如果我們用外角（外角是內角的補角）來表示這個公式，它可以寫得更簡潔：

其中 θ i 是 n 邊形的 n 個外角， θ i = π－ α i 。

按照這個公式，你只要沿著帝國的邊界走一圈，回到原來的位置、原來的方向，那麼你轉過的角度與2π的差值就代表了帝國領土的大小。

最後再來介紹一下更一般的情形。假如有一個光滑的曲面，在這個曲面上有一個由測地線組成的三角形，那麼對這個曲面三角形，有

其中K是曲面的高斯曲率，dA 表示對面積的積分， α 1 、 α 2 、 α 3 是三角形的三個內角。

一個半徑為R的球面的高斯曲率等於 1/R²，於是我們可以看到，球面三角形面積公式是上面這個公式的特例。這個公式是高斯在《關於曲面的一般研究》中證明的。

高斯的這篇文章提出了一個全新的概念，即一張曲面本身就可以看成是一個空間。隨後這個概念得以推廣，從而為非歐幾何學開闢了一片新的天地。

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