流形
1854年，28歲的黎曼在哥廷根大學發表就職演講。這個職位是所謂無薪講師，他的收入完全來自於聽課的學生所繳納的學費。即使是爭取這樣一個職位， 也需要提供一篇就職論文以及發表一個就職演講。
1853年他提交了就職論文，其中討論了什麼樣的函數可以展開成三角級數的問題，並導致對定積分的第一個嚴 格數學定義。之後的就職演講要求候選人準備三個演講課題，委員會從中挑選一個作為正式演講題目。
黎曼選了兩個思慮多時的課題，外加一個還未及考慮的課題 ——關於幾何學的基本假設。他幾乎確信委員會將挑選前面兩個題目之一。然而，委員會的高斯偏偏就看中了第三個題目。
當時黎曼正沉浸於電、磁、光、引力之間 的相互關係問題，從這樣的深沉思考中抽身轉而研究新的問題無疑是一種巨大的壓力，再加上長期的貧窮，一度讓黎曼崩潰。但不久他就重新振作起來，用 7 個星期時間準備了關於幾何學基本假設的演講。
為了讓數學系以外的委員會成員理解他的演講，黎曼只用了一個公式，並且忽略了所有計算細節。儘管如此，估計在場鮮有人能理解這次演講的內容。只有高斯為黎曼演講中蘊含的深邃思想激動不已。
黎曼在演講中提出了 “彎曲空間” 的概念，並給出怎樣研究這些空間的建議。 “彎曲空間” 正是後世拓撲學研究的主要對象。在這些對象上，除了可以運用代數拓撲的工具，還可以運用微積分工具，這就形成了 “微分拓撲學”。
回到黎曼的演講。黎曼認為，幾何學的對象缺乏先驗的定義，歐幾里德的公理只是假設了未定義的幾何對象之間的關係，而我們卻不知道這些關係怎麼來的， 甚至不知道為什麼幾何對象之間會存在關係。
黎曼認為，幾何對象應該是一些多度延展的量，體現出各種可能的度量性質。而我們生活的空間只是一個特殊的三度延展的量，因此歐幾里德的公理只能從經驗導出，而不是幾何對象基本定義的推論。
歐氏幾何的公理和定理根本就只是假設而已。但是，我們可以考察這些定理成立的可能性，然後再試圖把它們推廣到我們日常觀察的範圍之外的幾何，比如大到不可測的幾何，以及小到不可測的幾何。
接著，黎曼開始了關於延展性，維數，以及將延展性數量化的討論。
他給了這些多度延展的量（幾何對象）一個名稱，德文寫作 mannigfaltigkeit, 英文翻譯為 manifold，英文字面意思可以理解為 “多層”，中國第一個拓撲學家江澤涵把這個詞翻譯為 “流形”，取自文天祥《正氣歌》，“天地有正氣，雜然賦流形”，而其原始出處為《易經》，“大哉乾元，萬物資始，乃統天。雲行雨施，品物流形。” 這個翻譯比英文翻譯更加符合黎曼的原意，即多樣化的形體。
黎曼定義的 “n 維流形” 大概是這個樣子的：以其中一個點為基準，則周圍每個點的位置都可以用 n 個實數來確定。後人將這種性質總結為：流形的局部與 n 維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質。
如果進一步要求在流形的不同局部做微積分的結果可以互相聯繫起來，成為 “整體微積分”，則稱此流形為 “微分流形”。一個簡單的例子就是二維球面。我們都知道，二維球面上沒有整體適用的座標。
經度和緯度是一組很好的座標，但是在南北兩極，經度無從定義。儘管如此，球面的每個局部都可以畫在平面上，這就是地圖。把各個區域的地圖收集在一起，重疊的部分用比例尺協調一下，就得到整個球面。這樣，座標（或地圖） 只存在於每個局部，而整個球面其實是地圖之間的重疊關係。
球面是二維流形，因為球面的局部同平面（二維歐氏空間）的局部具有相同的延展性質。球面的整體結構顯然跟平面不同。沿著球面的某個方向往前走，比如，從赤道某點出發往東走，最終會回到出發點。而如果在平面上沿某個方向往前走則永不回到出發點。研究流形的整體結構，以及整體結構與局部結構之間的關係，就是 “拓撲學” 的核心課題。
微分流形上可以使用微積分的工具，再輔之以前面介紹過的代數工具（同調群，同倫群），就形成了威力強大的 “微分拓撲學”。這門學問的發展使我們對 5 維以上的單連通微分流形（回憶先前介紹的 “單連通” 概念，即每條曲線可於流形內滑縮為一點）有了比較徹底的認識。
到了80年代，數學家對 4 維單連通 “拓撲流形” 也有了徹底的認識，然而 4 維 “微分流形” 卻是無比複雜的對象。比如，直觀上最簡單的四維流形，四維歐氏空間，也就是所有 (x,y,z,t) 這樣的數組組成的空間，有無窮多個“微分結構”。
通俗一點說，這個流形上有無窮多種 “整體微積分” 可做，而我們通常做的四元微積分只是其中一種。這是 4 維的特殊性，因為其他維數的歐氏空間都跟我們的常識相符。也許 “4” 就是傳說中的上帝之數，我們的宇宙就是用 4 個參數來描述的（3個參數表示空間，1 個參數表示時間），我們的時空是一個四維流形。
如果我們忘掉時間，只考察我們生活的空間。它的形態會是怎樣？這是黎曼在演講結尾提出的問題。這個問題到現在還沒有答案。這個答案需要物理學家、天文學家、宇宙學家去尋找。宇宙空間會不會是一個三維球面？如果是三維球面，那我們沿著一個方向往前飛行，最終總會回到起點。
“爬蟲的幾何”
黎曼所描述的幾何經常被形容為 “爬蟲的幾何”，因為黎曼假設觀察者處於流形內部。對人類來說，二維流形是非常直觀的對象，它們通常被稱為“曲面”。而三維流形卻難以想象，正因為我們處於宇宙空間這個三維流形內部。
爬蟲幾乎是二維的生物，它們靠爬行來感知周圍世界。1884年英國小說家 E. A. Abbott 的科幻小說《平面國》描述了真正的二維爬蟲，以及它們對額外維（僅僅是第三維）的恐懼不安。
現在讓我們體會一下二維爬蟲的世界。假設這個世界是一個二維球面，任何事件都發生在這個球面上。最重要的是，光線沿著球面傳播。而我們人類可以從外部觀察這個二維球面世界。
古希臘數學家就已經知道，球面上連接兩點的所有曲線段中存在最短者，即以球心為圓心的弧（稱為“大圓弧”）。爬蟲通過測量也能發現這個最短線段，但在爬蟲的世界裡，“球心”並不存在。
我們假設爬蟲的光學定律也要求光線沿短程線傳播，所以二維球面上的光線，即短程線，在人類看來是一些大圓弧。一個處於球面上 P點處的光源發出的所有光線沿著大圓傳播，它們將匯聚於 P 的“對極點” P’ （人類傾向於定義對極點 P’ 為三維空間中連接 P 和球心的直線與球面的另一交點；而爬蟲將定義對極點為離 P 最遠的那個點）。
爬蟲們實際上看到兩個發光點 P 和 P’，一個是真實的，另一個是像（按高中物理的說法，P’ 處的發光點是 P 處光源的“實像”）。這是因為光線在 P’ 匯聚之後再次散開，眼睛將告訴大腦這些光線是從 P’ 發出來的。
有延展的物體，比如一個四邊形爬蟲，不妨設它的眼睛長在“前邊”。那麼它往前看將看見自己的“後邊”，往左看將看見自己的“右邊”。它看到了自己在“遠方”成的像。有多遠？圓周率乘以這個二維世界的半徑。
有趣的是，對於正好處在此爬蟲對極點的觀察者而言，爬蟲“無處不在”，往任何一個方向看都能看到爬蟲，非常恐怖的景象。這個世界的另一個顯著特點是，它“有限無邊”。
如果爬蟲認定一個方向往前爬，它可以永遠爬下去，不會碰到“世界的邊緣”，此即“無邊”；而如果爬蟲會丈量面積，那麼它發現這個世界的總面積是有限的，如果它一直往前爬，它會一次又一次地回到起點，此即“有限”。
有限無邊的二維流形當然不必是球面。比如，爬蟲的世界完全可以是我們人類所謂“輪胎面”，數學家叫它“環面”。在這樣一個世界裡，房地產開發商將是一個危險的職業，因為有時候畫了一個圈來圈地，結果什麼都沒有圈進去。
比如輪胎上的經線圈和緯線圈。腦滿腸肥的開發商們應該慶幸我們人類腳下正好是一個球面，隨便畫個圈都會有收穫。言歸正傳，數學家們發現我們人類觀察到的輪胎面並非其最自然的形式。
這個二維流形更自然的模型是把一個正方形的對邊等同起來。這是一個奇怪的世界，光線在正方形內沿直線傳播，當你疑惑光線到達正方形的上邊緣以後將往何處去時，你忘記了這個世界是“有限無邊”的，上邊緣和下邊緣是同一條線，所以光線又從下邊緣射上來。
這個世界裡，點光源不會成像，因為它發出的光走的是平面上（正方形內）的直線，正常發散，永不重聚。但是爬蟲仍然會看到遠方的自己。
與球面世界不同的是，爬蟲會看到無窮多個自己：朝任何一個斜率為有理數的方向看，就會從某個角度看到自己。怎麼理解這個現象？可以用這個正方形的無窮多個複製品地板磚式地鋪滿整個平面，每一個這樣的正方形都被解釋為同一個環面世界。
光線在環面世界裡的傳播就可以從光線在平面上的傳播讀出來：在平面上畫一條無限延伸的直線，這條直線在某個正方形 S 中劃出一條線段 C，然後進入到另一個正方形 S1，劃出另一條線段 C1，我們按照 C1 在 S1 中的位置將它複製到 S 中，同線段 C 一起構成環面世界裡光線的一段軌跡。
這種“地板磚”式構造在拓撲學中稱為“泛復疊”，其目的是用一個具有高度對稱性的簡單拓撲空間來研究一個比較複雜的拓撲空間。對環面而言，平面就是這個簡單拓撲空間，而其對稱性就是左右平移和上下平移。我們看到，在這個“泛復疊”裡，一個爬蟲被複製成了無窮多個，處於每個正方形的相同位置。
連接任意兩個複製品，得到一條斜率為有理數的線段，根據我們剛才關於光線的分析，平面上的這條線段代表環面上一條起於爬蟲而止於爬蟲的光線。所以，沿著這個方向爬蟲將看到自己的某個側面。數學家設計了一些環面上的小遊戲，比如迷宮、檯球、象棋等等。
其它的二維流形稱為“多環面”。（這裡我們只談論有限無邊的，而且“可定向”的二維流形，像莫比烏斯帶那種“單側”的流形不在我們考慮之列。）這些流形也有最自然的模型，由“雙曲平面”上的多邊形粘合而成。
這樣的世界裡，光線傳播得更奇怪一些，它們發散得特別厲害。光線的發散性質不是拓撲性質，它依賴於我們所選的模型，即數學家所謂“黎曼度量”。發散性質反映了黎曼度量的“曲率”，彎曲程度。
如果光線從某一點向周圍“線性發散”，即光強隨距離線性減弱，則流形在這一點是“平直的”。球面上光強減弱得比較慢，因為相對於平直空間（歐氏空間）來說球面上的光線傾向於“匯聚”，這是“正曲率”的標誌；而多環面上的光強減弱非常快，這是“負曲率”的標誌。
黎曼度量和曲率是另外一個話題，跟愛因斯坦的廣義相對論有關，就不贅述了。之前考慮二維世界的時候引進拓撲之外的結構——黎曼度量，是因為度量可以更好地幫助我們想象比較奇怪的拓撲結構，比如環面及其“泛復疊”。
充分地理解了可憐的爬蟲以後，我們可以“顧影自憐”了。我們的宇宙是什麼樣子的？是不是一個“三維球面”？宇宙中某個光源發出的光線是否匯聚到對極點，那最遙遠的地方？
或者是一個“三維環面”？四面八方都應該是我們自己，而我們看不到無窮多個自己只不過是因為宇宙太寬廣而光線在傳播過程中消耗殆盡？或者，宇宙根本就不是“有限”的，這似乎更符合大多數人的信仰。
即使是有限宇宙，由於維數更高，其可能形態比二維流形更多，至今數學家還未能將它們窮盡。
總結
這兩天發表的《拓撲學簡介（1-2）》涉及了代數拓撲、微分拓撲、低維拓撲，如果大夥兒還不知道這些是啥，請複習拙著：）。其實，拓撲的概念和方法已經滲透到整個數學，而不僅限於拓撲學研究本身。
很多文獻會提到，拓撲學起源於柯尼斯堡七橋問題，以及與此相關的一筆畫問題。歐拉解答了這個問題。同樣是歐拉，給出了第一個拓撲不變量，多面體表面的歐拉數（點數-邊數+面數）。可以認為歐拉是第一個研究代數拓撲學的人（雖然萊布尼茲曾經臆想過）。
傳說中高斯當年是德國國土局的領導，負責丈量土地。他由此觀測到山脊附近的地面彎曲性質可以用內在的測量方法得到（所謂曲面的內蘊幾何），他還定義了度量曲率大小的量（高斯曲率），並且將這個局部定義的、可以用微積分計算的量同整體定義的歐拉數聯繫起來（高斯-博內定理），所以他可以被追認為研究微分拓撲的第一人。
當然，高斯的主業其實是政府工作、開創現代數論、以及電磁學。業餘時間研究一下各種誤差的分佈啊，歐幾里德的幾何原本有什麼錯誤啊之類的小問題作為消遣。
第二尊菩薩——黎曼同學，除了開創流形的幾何學、發展了傅立葉分析和積分理論、研究了一下素數分佈提出世界第一難題黎曼猜想之外，他不到40歲的短暫一生的其餘時間基本上都在思考複變函數的問題。
為什麼有的複變函數是多值的？比如平方根和對數。能否把它們以某種方式變成單值函數？人們的思維定勢是，既然函數是多值的，就像一條橫著的拋物線，一個 x 對應到兩個 y, 要變成單值很容易啊，砍掉拋物線的一半就行了。
黎曼不這麼看。
他覺得，如果把函數圖像本身作為定義域，每個點當然只對應到一個 y，這樣函數就變成單值的了，而且沒有丟掉任何信息。
如果是複變函數，其圖像就是一個二維曲面，這就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多複雜的現象，這些現象催生了諸如連通性、單連通性、復疊空間這些拓撲概念，以及奇點、除子、函數域等等一些代數幾何的概念。拋開代數幾何不說，黎曼也許可以被屈尊為研究低維拓撲的第一人。
牛頓萊布尼茲發明了微積分之後，大家對無窮小無窮大這兩個概念很不放心。為了讓我們用得更安心，柯西和威爾斯特拉斯等人後來把無窮小解釋得非常透徹，基本上就是說兩個東西越來越近。
“離得近”這個概念從而成為分析中最核心的概念。它正是所有拓撲學分支的共同基礎——“點集拓撲”的起源。拓撲學在現實生活中的應用多數跟點集拓撲有關，即，通過分析“收斂性”體現在應用數學中。所以，最牛的牛頓被屈尊為研究點集拓撲第一人（有好事者不以為然，一定要扯到古希臘的阿基米德，這就見仁見智了。）
總而言之，拓撲學有著高貴的血統。當然，好漢不提當年勇，拓撲學的現在和將來如何？
20世紀中葉，代數拓撲學朝著高度抽象的方向發展，兩位名不見經傳的數學工作者（艾倫伯格-麥克雷恩）突發奇想，從中總結出一套抽象語言。為了體現這套語言之形而上，他們重載了先賢亞里士多德的概念——範疇。繼解析幾何與微積分以來人類數學又一次在概念上經歷了大變革。
範疇論誕生了。20世紀數學的上帝——格羅登迪克，用7000頁的數學聖經將拓撲學和範疇論全面而深遂地滲透到代數幾何和數論研究中，改變了整個數學的風貌。
與此呼應，世紀之交的物理學也在經歷變革，量子場論和絃論呈現出絢麗多姿的數學結構。20世紀物理學的耶穌（上帝被愛因斯坦附身了）愛德華.威頓，身負絕世的拓撲神功，一經施展，整個理論物理學為之色變。拓撲學三位一體，必須要像生物學一樣將21世紀納入自己的勢力範圍。
所以，在這個系列的結尾，讓我驕傲地替拓撲學宣稱：21世紀是拓撲的世紀！！
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