丈量新世界

微積分的醞釀是在17世紀上半葉到17世紀末這半個世紀。

1608年伽利略第一架望遠鏡的製成，不僅引起了人們對天文學研究的高潮，而且還推動了光學的研究。

開普勒通過觀測歸納出三條行星運動定律：

（1）行星運動的軌道是橢圓的，太陽位於該橢圓的一個焦點上。

（2）由太陽到行星的焦半徑在相等的時間內掃過的面積相等。

（3）行星繞太陽公轉週期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

最後一條定律是在1619年公佈的，而從數學上的推證開普勒的經驗定律，成為當時自然科學的中心課題之一。1638年伽利略《關於兩門新科學的對話》出版，為動力學奠定了基礎，促進人們開始對動力學概念與定理作出精確的數學描述。望遠鏡的光程設計需要確定透鏡曲面上任一點的法線和求曲線的切線，而炮彈的最大射程和求行星的軌道的近日點、遠日點等涉及函數最大值、最小值等問題；而求曲線所圍成的面積、曲線長、重心和引力計算也激發了人們的興趣。

在17世紀中葉，幾乎所有的科學大師都致力於未解決這些難題而尋求一種新的數學工具。正是為解決這些疑難問題，一門新的學科——微積分應運而生。

微積分的創立，歸納為處理以下幾類問題：

（1）已知物體運動的路程和時間的關係，求物體在任意時刻的速度和加速度；反之，已知加速度與速度，求任意時刻速度和路程。

（2）求曲線的切線，這是純幾何問題，但對科學應用具有重大意義，如透鏡的設計、運動物體在運動軌跡上任一點的運動方向（即該點切線方向）等。

（3）求函數最大值、最小值，前面提到彈道射程問題、近日點、遠日點等問題都屬於這一類問題。

（4）求積問題，包括求曲線長、曲線所圍面積、曲面所圍體積等。

而這些問題的解決，原有的已經無能為力了，只有當變量引進數學，能描述運動過程的數學新工具——微積分的創立後，這些難題才得以解決。其中最重要的是速度和距離以及曲線的切線和曲線下的面積這兩類問題。正是為了解決這兩類問題，才有了牛頓和萊布尼茨各自獨自創立了微積分。

栗子數說

小學時候我們就學過圓的面積公式

其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。大家還記得這個公式是怎麼得到的嗎？

首先，我們畫一個圓，這個圓的半徑為R，周長為C。我們知道，圓的周長與直徑的比定義為圓周率，因此

這個公式就是圓周率π的定義，是不需要推導的。

然後，我們把圓分割成許多個小扇形，就好像一個比薩餅分割成了很多小塊。再然後，我們把這些比薩餅一正一反的拼在一起，這樣就形成了一個接近於長方形的圖形。

可以想象，如果圓分割的越細，拼好的圖形就越接近長方形。如果圓分割成無限多份，那麼拼起來就是一個嚴格的長方形了。而且，這個長方形的面積與圓的面積是相等的。我們要求圓的面積，只需要求出這個長方形的面積就可以了。

這個長方形的寬就是圓的半徑R，而長方形的長是圓周長的一半

其實，這個推導過程很簡單，那就是先無限分割，再把這無限多份求和。分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。

大家知道微積分是誰發明的方法嗎？

其實，從古希臘時代開始，數學家們就已經利用微積分的思想處理問題了，比如阿基米德、劉徽等人，在處理與圓相關問題時都用到了這種思想，但是那時微積分還沒有成為一種理論體系。直到十七世紀，由於物理學中求解運動-如天文、航海等問題越來越多，微積分的需求變得越來越迫切。於是，英國著名數學家和物理學家牛頓和德國哲學家和數學家萊布尼茨分別發明了微積分。

1665年，牛頓從劍橋大學畢業了，當時他22歲。他本來應該留校工作，但是英國突然爆發瘟疫，學校關閉了。牛頓只好回到家鄉躲避瘟疫。在隨後的兩年裡，牛頓遇到了他的蘋果，發明了流數法、發現了色散，並提出了萬有引力定律。

牛頓所謂的流數法，就是我們所說的微積分。但是牛頓當時並沒有把它看得太重要，而只是把它作為一種很小的數學工具，是自己研究物理問題時的副產品，所以並不急於把這種方法公之於眾。

十年之後，萊布尼茨瞭解到牛頓的數學工作，與牛頓進行了短暫的通信。在1684年，萊布尼茨作為微積分發明第一人，連續發表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，這比牛頓提出的流數法幾乎晚了20年。但是在論文中，萊布尼茨對他與牛頓之間通信的事隻字未提。

牛頓憤怒了。作為歐洲科學界的學術權威，牛頓通過英國皇家科學院公開指責萊布尼茨，並刪除了鉅著《自然哲學的數學原理》中有關萊布尼茨的部分。萊布尼茨也毫不示弱，對牛頓反唇相譏。兩個科學巨匠的爭論直到二人去世依然沒有結果。所以我們今天談到微積分公式，都稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。

他們在自己的著作中刪除對手的名字時，如果知道後人總是把他們的名字放在一塊寫，又會作何感想呢？歷史就是這麼有趣。

為了讓大家更瞭解微積分和它的應用，我們再來計算一個面積：有一個三條邊為直線，一條邊為曲線的木板，並且有兩個直角。我們希望求出木板的面積。

為了求出這個面積，我們首先把木板放在一個座標系內，底邊與x軸重合。左右兩個邊分別對應著x=a和x=b兩個位置，而頂邊曲線滿足函數y=f(x).函數的意思就是一種對應關係：每個x對應的縱座標高度是f(x)。

如果我們把這個圖形使用與y軸平行的線進行無線分割，那麼每一個豎條都非常接近於一個長方形，而且長方形的寬是一小段橫座標Δx，高接近於f(x)，所以這一小條的面積就是f(x)Δx。

現在我們把無限多的小豎條求和，就是板子的面積，寫作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被積函數，這個表達式就是積分，表示f(x)、x=a、x=b和x軸四條線圍成的圖形面積。

怎麼樣？雖然微積分的計算比較複雜，但是明白原理還是十分簡單的，對不對？

李永樂老師

很高興回答你的問題。

說到微積分，我覺得這是我們接近世界本質，所邁出的第一步。

為什麼這麼說呢？因為，如果數學還停留在算個橫平豎直、矩形三角的面積的話，那麼離應用真的是差太遠了。

數學是什麼？

一個工具，如果說物理是在探究這個世界的一些規律和原理的話，那麼數學就是物理的語言。

如果沒有微積分，這個語言就幾乎失去了價值。這個世界其實沒有那麼多稜角，連隨便一塊石頭，都有風、水和歲月的侵蝕，來把稜角打磨。那麼微積分就是打開了通向這個“圓滑”的世界的大門；除此之外，這個世界還是多變的，雖然說“你不可能踏入同一條河流兩次”這樣的觀點太唯心，但是正是這樣的思想告訴了我們一個道理：

這個世界變化太快。

而微積分給了我們去跟上變化的資本。

萬變不離其宗，你怎麼變，我都可以去積分積出來。

用哲學的角度看：

積分是看到了量變產生的質變。

微分是放大絲毫的變化，讓你不被任何一個“平滑掉”的數據，矇蔽雙眼。

微積分，讓我們有可能看清世界。

大約花費0.3KB的流量，哈哈哈哈哈。

畢竟，我辣麼萌~

不哈韓的小韓

微積分的本質可以從物理上求速度和位移來說明！

首先，說微分。沒有這個概念以前，高中物理最多敢講授勻變速運動。唯一涉及到變加速運動還是在功裡面，通過汽車加速過程中，通過不斷增加檔位，減小牽引力，提高速度，最終達到勻速。大學裡面解決這一問題就簡單了，我們可以假設如上圖的，如果

t2—t1無限趨緊於0，則這時：

v＝ds／dt，即由上圖的平均速度變成了瞬時速度，這就是求位移對時間的導數。可見，小夥伴再也不是隻能計算勻速、勻變速運動了，任何運動都可以用導數來計算。總結來說，就是微分就是如果我們將複雜的變加速運動速度，分割成很多的極短時間的勻速運動，就可以計算出物體各個時刻的速度了。

其次說積分。沒有積分以前，我們也只能通過運動學公式計算勻速或者勻變速物體的位移。而有了積分我們面對變速運動也可以通過計算每一段不同速度的位移再加起來就可以了。如上圖所示，只要我們把每一段的時間的位移進行疊加，就可以近似得到總的位移。分的時間段越小，最後疊加以後就越接近真實的位移。因此，變速運動的位移也就通過積分得到解決了！

總之，微積分的出現使人類認識世界和改造世界的能力大大提高！

地震博士

微積分的本質這個問題，我在年輕的時候就做過長時間的思考。因為我想在我自己的研究中把它的本質思想融入進去。除其形式外主要考慮的是其與物理世界的本質聯繫。想通這個本質，就能理解為什麼微積分在物理上有如此眾多的應用。

先從定積分說起。它在形式上是乘積的累加然後取極限。這個乘積是函數值乘以一個區間的微小分割，有何物理意義？ 首先常數的乘法在物理上多可以用來表示一個強度乘以一個作用範圍(廣度)得出一個作用結果值。例如一個恆定力作用於一段距離，乘積為功。此時的強度是均勻作用於其廣度上的，因此計算用常數的乘法很簡單。但是考慮如果在一個可無限細分的廣度範圍內，強度的作用是處處不一樣的，那麼其作用結果怎樣計算？此時人們想到先求其近似值的一般形式: 也就是對此廣度作若干分割，分割比較細時，每個分割內取一個強度值作為平均代表，乘以這個小的廣度值，得到一部分的作用結果近似值。然後再累加所有結果值的近似作用量得到近似的總量。最後利用極限的方法把近似和逼近到所謂的精確值。這個結果就是定積分。那麼定積分的物理本質意義就是可變強度在其作用廣度上的作用效果總值的極限精確計算。

微分和導數的意義可以反過來理解。考慮一個廣度範圍上一個因可變強度累計作用而得的效果值，因廣度累計的不同，作用累計的值可以是非正比例的。那麼求導數的過程和上面的相反，先細分一個小廣度區域，用兩個不同的累計值相減，得出一個小範圍的作用值，除以小範圍的廣度量，得出近似的平均強度值，再讓該小廣度範圍逼近0，取極限就得到該“點”上的真實強度值。所以導數的物理本質是由累計效應求出局部強度。速度是距離的強度，壓強是壓力的強度。都是例子。可以有作用量求導得出。而微分是導數再乘以小的廣度細分值(廣度的微分)，得出微化的局部近似作用總量。

這樣就有助於那些已經學了微積分的人更好理解了。

然而筆者進一步提出一個問題？作用值都是強度與廣度的代數乘積嗎？局部的作用效果的合成都是用加法計算嗎？物理學得好的同學可以直接回答不！例如電阻的並聯就不是加法。

因此筆者基於同樣的思想，嘗試把代數四則運算和微積分都做進一步上升，得到一個新的數學系統。我把它成為《同構數學分析》。

在此係統中，普通的微積分只是體系的一個特例，也就是強度和廣度各種作用的運算是代數加減乘除的情形。在我的體系語言中稱為系統的相關同構映射為y=x。選取不同的一維或n維或其組合的同構映射例如對數映射，得到不同的同構微積分。系統中牛頓萊布尼茲公式有兩種上升形式，要用到新創的符號來表示。兩者的特例之一都可以是牛萊公式。

另外上面說到了平均，這在新系統中是重要的概念。提出了函數的雙變量同構平均值，又細分為5類函數的廣泛平均值。這樣就較好的統一了數學中常見的多數平均值，並給出部分比較法則定理。sinx在0到pi之間的的幾何平均值就是一個典型的特例，其值為1/2。這是多數人都不知道的極美而又極簡的結論！這個結果是可用數學軟件驗證的！也可以用系統的定理法則來比較它是小於同區間的算術平均值的（2/pi）。

新的系統裡還有很多新的有趣的概念和方法，有興趣的朋友可以下載論文來研究。希望可以成為初高等數學愛好者的一個新的研究平臺或方向。有興趣請關注我。tim。

同構數學ABC

通俗地說，“微積分”三個字，顧名思義，就是無限分割之後再無限累加，很好理解，是大學裡所有自然科學專業的必修基礎課，在數學系叫做“數學分析”，在其他系叫做“高等數學”，是理科生考研的重頭戲，看似深奧，其實並不難，小學、中學的數學、物理都用到了微積分的思想。

小學算術，圓形面積計算，就是從圓心到圓周做許多輔助線，把圓形平均分割成許多圓心角很小的扇形，再把這些扇形相互交錯地拼接成近似的矩形，分割得越細，拼接出的圖形就越接近於矩形，當無限分割時，拼接出的圖形就是矩形，這其實就是所謂的微積分，矩形的長等於圓形周長的一半πr，矩形的寬等於圓形的半徑r，因此矩形的面積為πr²，也就是圓形的面積。

高中物理，力學裡的加速度，就是速度的導數，只不過高中沒有正式學過微積分，只能用初等數學的方法，所以說，大學裡的普通物理，其實比中學物理容易，大學的高等數學，也比高中數學容易，就像用初中代數做《九章算術》裡的“雞兔同籠”一類的題，比用小學算術去做要簡單一樣。

鋅栯皊琋

答：個人理解，站在哲學的角度：微積分的本質是量變到質變的統一。

比如我們求陰影部分A的面積，由於A的大小是由曲線y=x^2決定，而y=x^2的曲線又由無數個點組成，這些點就決定了面積A的大小。

可是點和麵積有著本質的區別，兩者卻有著即分離又統一的聯繫，而聯繫兩者的正是微積分。

從微分到積分，就是量變到質變的過程，居然有著如此完美的關聯，實在是妙不可言。

更讓人驚訝的是，這種聯繫居然可以用人類數學語言來描述。

如果我們站在不同的角度，會得到不同的答案，也會有不同的理解，站在純數學的角度：微積分就是把函數作為研究對象，發展起來的一套自洽的運算法則，其目的是研究函數的變化趨勢。

這樣或許更好理解些，加、減、乘、除可以把數字作為研究對象，我們的微積分就是把函數作為研究對象，本質說來微積分就是比加減乘除更高級的運算法則。

以上回答純屬個人理解，僅作參考！

艾伯史密斯

要清楚微積分的本質，首先要明確微分和積分的概念。由於我們並不能總是遇到非常標準問題去解決，比如計算一個不規則的圖形由三角形、長方形、梯形等組合而成的圖形的面積，不能用一個公式計算得到結果，所以我們需要把這個圖形分解成一個個標準的圖形，這個過程就可以大致的理解成微分，而把各個計算結果相加就得到了我們需要的結果，而這個累加的過程也相當於積分的過程。這只是簡單的瞭解微積分原理。真正的微積分原理則是微分是無限精細化的過程，比如計算一個圓的面積，因為圓弧越短越接近直線，所以把圓形理解成由圓弧和兩個半徑形成的無限多個三角形構成，然後用計算三角形的公式計算並累加就得到圓形的面積。這也只是微分積分的原理，其實我們計算圓的面積公式就是利用微積分原理利用一個表達式在通過微積分特殊的運算方法得到的。微積分可以方便解決很多問題但也不是萬能的，通常只能解決有規律的問題，而對於更加複雜的問題還需要分化解決，甚至還得用其它的辦法解決。深入學習後就會清楚這個說法了。

臆想天開

一、早期的微積分的思想

17世紀，微積分成為一門學科，但微積分的思想很早就產生了。

公元前七世紀，古希臘的泰勒斯就對球的面積、體積與長度等問題進行研究。

公元前三世紀，阿基米德寫出著作著作《圓的測量》《論球與圓柱》。

三國時期劉徽，利用割圓術計算圓周率，通過牟合方蓋計算球的體積。

上面的這些例子都蘊涵了微積分的思想。

二、微積分的產生

到了17世紀，有好多科學問題需要解決，促使微積分產生並逐漸成為一門學科，歸結起來有以下四類問題。

1、求即時速度的問題。

2、求曲線的切線問題。

3、函數的最值與極值問題。

4、求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積及物體的重心。

微積分的創立者一般認為是牛頓和萊布尼茨，下面這個公式被稱為牛頓-萊布尼茨公式。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此微積分早期也被稱為無窮小分析。牛頓研究微積分，側重於從運動學來考慮。牛頓在1671年寫了《流數術和無窮級數》。書中指出，變量是點、線、面的運動產生的。連續變量叫做流動量，這些流動量的導數叫做流數。牛頓在《流數術》中的中心問題是已知連續運動的路程，求給定的時刻的速度；已知運動的速度，求給定時間內經過的路程。

萊布尼茨側重於幾何學來考慮。萊布尼茨在1684年發表了《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》，這篇文章被認為是最早的微積分文獻。現在微積分中通用的符號就是萊布尼茨創建的。

三、第二次數學危機

在微積分廣泛應用的同時，關於微積分基礎的問題也越來越凸顯出來。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此直接引發第二次數學危機。

直到19世紀20年代。一些數學家才比較關注微積分的嚴格基礎。從波爾查諾，阿貝爾，柯西、狄裡赫利等人的工作開始，直到威爾斯特拉斯、狄德金和康託的工作結束。中間經歷了50多年。基本上解決了矛盾，建立了公理化體系，為數學分析奠定了嚴格的基礎。

多元視角

看咯之前的一些解答，趣魂君實在看不下去咯，索性自己試著寫一下吧。 這要從數學這門學科說起。

數學源自生活，終於哲學。數學就像繪畫，音樂，語言一樣，是描述客觀世界的一種方式。既然是描述方式，那就可以像語言一樣有很多種，實際上也確實是這樣，到現在為止，數學家和哲學家針對數學的定義還沒有達成共識。我們暫且借用羅素的說法，所有數學是符號邏輯。

第一次數學危機可早咯，公元前450年，中國正處在戰國剛開始打仗那會兒，哪有功夫理會這些東西。危機源自著名的龜兔賽跑悖論，當然很多版本，我這裡用最通俗易懂的版本。話說理論上講，兔子跑到龜的地方需要時間，龜會用這段時間前進一段距離，接著兔子跑到龜的新的地方時，龜會再前進一段時間，於是無窮小的方向上兔子永遠追不上烏龜。好笑吧，但是理論上完全沒毛病。咋解決呢？古希臘人直接把無窮小忽略不計咯，看過之後捂著肚子多笑會兒吧。

於是乎從牛頓，萊布尼茨，波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、拉格朗日，泰勒，黎曼，狄德金和康託的工作結束，歷時半個世紀，終於把無窮小給相對嚴謹的描述咯。所以說微積分從本質上說就是如何解決無窮小的問題。

不管怎麼說這場論證至今還在繼續演繹著，著名的數學家歐拉就堅持認為在求導數的運算中,其結果應該是0/0。

不過說起微積分的功勞，那可是大咯去咯，完全是基礎中的核心基礎，廣泛用在各個領域，成功推動包括計算機科學在內的科學技術的全面繁榮發展。

趣魂君再帶大家回味以下幾位偉人的說法，領略一下數學世界的奇妙吧：

萬物皆數．——畢達哥拉斯

幾何無王者之道．——歐幾里德

數學是上帝用來書寫宇宙的文字．——伽利略

數學是科學之王．——高斯

數學的本質在於它的自由．——康托爾

音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心絃，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切．——克萊因

關鍵字: 微積分 行星 橢圓