多多玩遊戲
芝諾是古希臘數學家，提出了一系列悖論以反駁時間和空間的連續性和變化問題，比較有名的有追烏龜和飛矢不動兩個。
古希臘傳說中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。在阿基里斯出生後，忒提斯捏著他的腳踝將他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀槍不入，惟有腳踝被忒提斯手握著，沒有浸到冥河水，是他唯一的弱點。在特洛伊戰爭中被敵人射中腳踝而死。
有一天，阿基里斯遇到了一隻烏龜。烏龜對阿基里斯說：別看你跑得快，你永遠也追不上我。阿基里斯問為什麼呢？烏龜說，你看：
如果阿基里斯在A處，烏龜在B處，同時出發。阿基里斯要追上烏龜，首先要追上烏龜先跑的一段AB，但是在這段時間烏龜也在向前跑，當阿基里斯到達B處時，烏龜已經跑到了C處，還沒有追上。雖然此時BC的距離小於AB的距離。
阿基里斯會繼續跑BC這一段，但是這段時間烏龜也沒閒著，跑到了D處，雖然CD小於BC，但是阿基里斯還是沒有追上烏龜。
以此類推，阿基里斯和烏龜之間的距離只能不斷縮小，但是永遠都不會變為零。綜上所述，阿基里斯永遠追不上烏龜。
這個悖論的詭辯之處在於：芝諾將一個追及過程分割成無限多份，但是這無限多份的時間和距離之和是有限長。
為了解釋這個問題，我們把追及過程畫在一個數軸上，並且假設AB之間距離為L，方便起見，設阿基里斯的速度等於兩倍烏龜速度。
這樣一來，相同時間內阿基里斯運動的距離就是烏龜的兩倍。所以阿基里斯走過AB時，烏龜走過的BC段距離為L/2，阿基里斯走過BC時，烏龜走過的CD段長度為L/4...
如果阿基里斯要追上烏龜，需要追及無線多段，將這無限多段加和
我們會發現，隨著段數的增加，這個距離約來越接近2L。如果只有兩項，那麼與2L相差L/2；如果有3項，與2L相差L/4，如果有4項，與2L相差L/8...如果有無窮多項，阿基里斯走過的總距離就等於2L。
同樣的，設阿基里斯走過AB段的時間為t，則總時間T等於
芝諾把一段有限的時間和距離分割成了無限多份，是不能得出追不上的結論的。
實際上芝諾的這種做法類似於微積分，將一個過程無限分割，再進行累加，這恰好是微積分的基本思想。分割無限多份後越往後的小段時間和空間越小，稱之為無窮小。牛頓和萊布尼茨提出微積分後，人們發現了微積分的重要應用，解決了許多數學和物理的問題。
李永樂老師
幾乎所有人都知道龜兔賽跑的故事
因為兔子太過於輕視烏龜
最終居然輸給了烏龜
這是公元前六世紀《伊索寓言》裡的故事
可是在《伊索寓言》誕生的一百多年後
又有一隻烏龜橫空出世
這次它比賽的對象不是兔子了
而是古希臘神話中
最善長跑步的英雄阿喀琉斯
可是最後又是烏龜贏了
這隻烏龜不僅跑贏了比賽
還一度成為了科學界中的神獸
那到底是怎麼一回事呢？
要知道這件離奇的事
我們就不得不先從
這隻烏龜的主人芝諾
開始講起
……
公元前488年
芝諾出生於意大利半島南部的埃利亞
是古希臘著名的數學、哲學家
甚至還被封為辯證法的創始人
但是真正使他留名於世的
是他的悖論們
據說他一生推出了80多個悖論
其中有4個悖論非常著名
而其中一個就是關於那隻神龜的。
故事是這樣的：
公元前464年
號稱世界上跑得最快的阿喀琉斯
和一隻烏龜進行了一場賽跑
阿喀琉斯是《荷馬史詩》中的海神之子
然而烏龜只是一隻平凡的烏龜
不僅短小
還有結實笨重的龜甲
於是
烏龜以身體劣勢為由
申請提前奔跑100米
當烏龜跑出100米的時候
阿喀琉斯便開始奮力追擊了
阿克琉斯的速度
是烏龜的十倍
當阿喀琉斯追到100米時
烏龜已經又向前爬了10米
於是
一個新的起點產生了
阿喀琉斯必須繼續追
而當他追到烏龜爬的這10米時
烏龜又已經向前爬了1米
阿喀琉斯只能再追向那個1米
就這樣
烏龜會製造出無窮個起點
它總能在起點與自己之間
製造出一個距離
不管這個距離有多小
但只要烏龜不停地奮力向前爬
芝諾說
阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜
這個悖論
讓我想到了我們中國古代
有一位聖賢莊子也說過這麼一句話：
“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”
其實兩者的意思是一樣一樣的。
OK
不管這個看似在現實世界中
芝諾的烏龜是多麼的蠻不講理
即使隨便建立一個簡單的方程組
t=s/(v1-v2)
就能求出阿喀琉斯追上芝諾之龜的時間
甚至
用數學巨匠萊布尼茨
與科學巨匠牛頓
隔空修煉的“微積分”
其中的“極限”法門
也能輕易踩扁這隻烏龜
但問題是
我們在這裡有一個假定
那就是假定阿喀琉斯最終是追上了烏龜
才求出的那個時間
但是芝諾的悖論的實質在於
要求我們證明為何能追上？
被我這麼一問
是不是又被我搞糊塗了？
其實答案很簡單
以現代物理學的角度來看
芝諾的烏龜也是不成立的
他把時間和空間
看成無限可分的狀態
可是
空間與時間是不能無限細分的啊！
我們都知道普朗克長度
也就是物理學上
有意義的可測量的最小長度
一般認為
達到了這個普朗克長度之後
任何長度也就沒有任何意義了
所以
當烏龜和阿喀琉斯之間的距離
達到一個普朗克長度距離的時候
或者時間達到一個普朗克時間的時候
是無法再繼續分割的
這個時候
你“看”到的運動
就是
阿喀琉斯直接“跨過”一個普朗克長度
時間也正好過去了
一個普朗克時間大小的時間
並且順利追上了烏龜
其實
芝諾又何嘗不知道
現實中阿喀琉斯肯定會追過烏龜
只是這個悖論
是源於數學大師間的一個小玩笑
巴門尼德是芝諾的老師
在探討0.999……與1的大小問題上
巴門尼德一直堅持
"1-0.999……=0，或1-0.999……>0"的思想
而當時“數學派”的典型代表
畢達哥拉斯則堅持認為" 1-0.999……>0"
芝諾編出這個悖論
其實是想給兩位大師的反戈一擊
因為
芝諾一直堅持認為
"1-0.999……=0，而非大於0"
就因為這個小小的爭論
以至於在之後的兩千年時間裡
人類對這隻千年老烏龜依然耿耿於懷
不管從哲學到前沿物理學
人們還常常拿它吵架
不過這麼說起來
0.999999...還真的是等於1啊
你們不信？
好的
雙11快來了
為了讓大家能在雙11好好過節
算清楚自己的預算和支出
我也是拼了命了
就來給大家好好證明一下
為什麼0.999999...=1
大家看好了啊！
大家都知道
1/3=0.333333...
等式兩邊都同時乘以3
1/3×3=0.333333...×3
我們會發現
1=0.999999...
沒錯吧！
如果這樣還不能睡服你
那麼我們把0.999999...乘以10
也就是把小數點向右移一位
10×0.999999...=9.99999...
再把討厭的小數從兩邊減去
10×0.999999...-1×0.99999...
=9.99999...-1×0.99999...
等式的左邊利用加法結合律
就是9×0.99999...
等式右邊就剩下9
因此，如下
9×0.99999...=9
我們都知道
如果一個數的9倍等於9
那麼這個數就只能是1
這不就是我們要的結果？
神奇吧？
雖然
芝諾悖論已經被物理學給解開
不過芝諾倒是說過一句至理名言
人的知識就好比一個圓圈
圈內是你已知的知識
圈外是你未知的知識
當你的知道的越多時
圓圈也就越大
相對的
你不知道的東西也就越多
神邏輯啊
但是不得不說這個說法太正確了
包大人玩科學
阿基里斯追不出烏龜，其實以上這種說法其實是荒謬的，但卻有人用數學的方法證明到此診斷：
假設龜兔剛開始相距的距離為Ｌ，兩者的速度分別是Ｖ１和Ｖ２其中一個是我們常用的時間t,另一個則是芝諾時間t',在這個時間度量下，即使時間趨於正窮，兔子還是追不上烏龜的．看下圖的表述：
在芝諾的時間背景下兔子是無法追上烏龜的，是不是很神奇！
問題的核心在於時間度量上，時間是不能無限分割的
在邏輯上它的表述沒有問題，在數學上可以推導出來，那是否說明那就是對的呢，肯定錯誤的；錯在哪裡呢？這就是這個悖論的魅力所在，很難找．其實是時間的度量，如果時間可以細分，我們還可以類似的說明高鐵追不上一個普通人，劉翔跑步追不上走路的普通人．．．．．這樣的話感覺世界都會亂套了．問題的核心在於時間不能無限細分，為什麼不能細分呢，這個就不是數學能解釋的問題了，得請教物理學家了，對於時間的概念就需要量子理論來論證了．本人水平有限，只能說到這．
學霸數學
看了很多回答，感覺都回答的不夠清楚。
先說結論，芝諾悖論說明了時間和空間(在這裡是距離)不可無限細分。那麼怎麼理解這個說法呢？
首先，芝諾的邏輯是沒有問題的，阿基里斯在追了10米的時候，烏龜跑了1米。。。如果這個過程可以無限進行下去，那麼烏龜始終在阿基里斯前面，阿基里斯無法超過烏龜。換個數學說法，對於阿基里斯來說，就是S=(10+1+1/10+1/100+...+1/10^n)，當n趨向無窮大，S=11.11111...=100/9。對於烏龜來說，S=10+(1+1/10+...)=100/9，括號裡是烏龜跑過的路，外面是開始前領先的距離。從這裡可以看到，如果n是一個無限大的值，那麼阿基里斯和烏龜就只能跑到100/9這個距離了。
有人可能會說了，你不是在n個步驟的時候到100/9了麼？這不等於追上了麼？在n+1時刻不就超過了麼。注意這麼想是錯誤的，因為無窮大不是一個數字，無窮大加1還是無窮大，減1還是無窮大，甚至減掉一個無窮還是無窮大，這個可以參考連續統的知識。
所以一旦時間和空間可以細分，就是n可以趨向無窮大，那麼就會出現芝諾描述的悖論。所以時間和距離是不可以被無限細分的，量子力學也支持這個觀點。
順便說一下關於1=0.999...這個事，這個等式成立是正確的，但是把1=3*1/3=3*0.333...=0*999...作為證明你我覺得是不可取的。這個過程作為輔助理解是可以的，但作為證明是不嚴格的。因為0.999...=3*0.333...這個不能隨意推廣，需要證明。這裡其實也面臨這個操作需要無限個步驟完成的問題。其實在現有系統裡我認為這個命題屬於無法證明也無法證偽，因為我們無法完成一個有無限個步驟的乘法。因此事實上我們是通過定義來確認這個等式的。也就是根據定義(戴德金分割)可以推出1=0.999...
神采奕奕迤邐而行
無稽之談，這個理論最大的前提是時間是有限制，也就是有一個無限接近卻也無法達到的點。
順著這個理論，人去追趕烏龜，每個節點的時間會越來越短，短到最後烏龜幾乎都伸不出爪了，這個理論意味著人想要追上烏龜必須超過這個限定的時間點，毛病在於這個時間被無限細分，就像一尺之錘，日取其半，區別在於一個限定了時間，一個限定了空間。人什麼時候能追上烏龜？那就是0.99....9等於1的時候，等最後一個9跨過這最後一步就成了
時間很抽象，到空間相對具體很多，木錘取半，理論上確實無窮盡也，但人的觀測能力是有限度的，分子，原子，離子，夸克，再往後呢？人類目前已經沒有能力去測量了，不能測量的東西不代表不存在，但和不存在又有什麼區別呢？
拋開單純的學術思維，在生活中你問任何一個人能不能跑過一隻烏龜，一個健康的人，9成9的會一笑置之，簡直是開玩笑！空中樓閣式的學術理論，還是讓偉大的磚家學者們去研究吧，我們老百姓圖一樂呵就成
華飛鍋爐
不要聽信其他人瞎說，芝諾悖論目前並沒有被公認得到了徹底解決。
芝諾悖論目前的狀態不同於第一次數學危機利用無理數概念的提出得到了公認的解決方案，可以說，目前所有解決芝諾悖論的方案都是有瑕疵的。
一、認為時間、空間不可以無限細分的觀點實際上只是轉移了問題，因為沒人能夠回答為什麼時間、空間不可無限細分。同時這種方案還給物理學提出了難題，即最小的時間間隔是多少？最小的距離是多少（所謂“普朗克長度”只是說小於該長度會不可測，不是說小於該長度不存在）？另外，這種主張同時還意味著微積分在時間、空間上是無效的。
二、利用微積分解決芝諾悖論實際上不是正面回答問題，無限次追趕都沒有追上是一個在思維世界存在的事實，不能因為在現實中是能追趕上就斷定這個“思維事實”是錯的，你得指出為什麼錯了。一味指責前人不懂微積分思想，這根本不是在講理由，甚至可能還不符合事實。PS，同時認同不可無限細分和微積分兩種方案的人為數不少，有意思的是，這兩者本質上是矛盾的。
三、利用邏輯上的“同一律”理念來解決芝諾悖論是目前相對好一些的方案，即主張無限次追趕不上不等於時間上的永遠追趕不上，技術性把兩者辨析出來。這個方案唯一的缺點就是可能會帶來更多的麻煩，邏輯上的原則本來就應一以貫之，今天用這種方法解決芝諾悖論，那明天我們日常用語按理也得按照這個套路來，單是想想都令人頭痛。
所以，籠統地說，芝諾悖論其實並沒有解決，別聽其他人瞎說。
波德萊爾信徒
在芝諾悖論中，人與烏龜賽跑，烏龜先跑100米，然後人跑了100米，烏龜跑了10米。人跑了10米，烏龜跑了1米.....看似人永遠追不上烏龜。其實這是不符合現實的。人跑了100米，烏龜跑了10米，此時烏龜總共前進了110米，人前進了100米，兩者相差10米。如果兩者都勻速跑的話，人又跑了100米，而烏龜依然跑了10米。那麼烏龜總共跑了120米，人總共跑了200米，人已經超過了烏龜。
你們誰跑步時明明速度比前邊人快，能超過前邊的人，你卻非得慢下來，一直跟在他後邊。而且越來越慢，最後幾乎不動了，反正就是不超過前邊的人。那不是傻嘛。。。
髒豆粉
芝諾悖論有一假設前提，這個前提是烏龜可以擋著人的路，這時，只要烏龜擋住路，人就不可能超過烏龜，而且只能在烏龜後面，所以追不上，但現實中人可以找機會繞過烏龜超過去，所以這個邏輯悖論只是一個書生玩邏輯玩出來的悖論，不能太認真
龍一歐
看了很多回答，都是拿積分了極限了什麼來回答，當你想到用這些方法來解答時，你已經掉進陷阱裡了，或者說你思維已經被套進去了。大家可以去看看原題，原題中隱含著一個條件，那就是時間。如果追上兔子時間為a，題中默認條件就是小於a,自己可以去算一下，時間永遠達不到a。所以結果很明顯了，一個五分鐘才能追上的東西，你只給兩分鐘，怎麼追上！
夢醒深秋zZ
＂某條路線上，甲追上乙＂, '通常的、也是正確的理解'是 —— ＂首先，雙方都按該路線一直向前運動；其次，記時開始之後，'在某段時間內'，如果'甲所跑的路程' 大於或等於'剛開始時甲乙相隔的路程 + 乙所跑的路程'，那麼，就說'甲追上乙'＂！
現在，芝諾將＂某條路線上，甲追上乙＂換成了另外一種理解 —— ＂'甲必須依次來到'乙'依次到過的地方'。其中，'乙依次到過的地方，顯然是一個'與正整數序列一 一對應的無限項數列'＂！ 由於＂乙曾經到過的地方，在該路段中，能夠一直不停的隨著時間向前延伸＂ —— 所以， ＂當甲追到乙上一次的'途經點'時，乙卻已經跑到新的'途經點'去了＂！ 正是因為＂該路段中，記時開始後，乙不斷的產生新的'途經點'＂，所以，甲永遠追不上乙！
芝諾把＂'某條路線上，甲追上乙'的含義＂換成了＂另外一種理解 —— '甲必須依次來到'乙'依次到過的地方'＂。＂他的這種理解＂與＂通常的、正確的理解＂含義相同嗎？！答案是 ：＂顯然不相同＂！
其中，＂最要命的是 ＂ —— ＂芝諾的這種理解，包含著一個正整數序列中的假設 ：'你跑到我的上一處，我已經跑到下一處'去了＂！實際上，＂這已經假定＂ —— ＂在'任意的時間'，'你只能在我的後面'追趕'我的下一個途經點'＂！ —— ＂這就是'永遠追不上的假設'＂ ！ 在＂這樣的假設＂之中，＂是10倍烏龜速度時，是追不上的＂，是＂100倍、1000倍、10000倍烏龜速度時＂，。。。。。。，只要是用＂有限倍的烏龜速度＂，你還是追不上滴 ！（只有用＂無限倍的烏龜速度＂，你才追得上！）
