Sky小仁
確立一套規範的公理體系，並以此為基礎進行演繹推理，是數學，尤其是現代數學的核心研究方法。任何一個成熟的數學理論和數學概念，第一步都是要確立它所滿足的公理體系。這一方法是由古希臘人開創的，歐幾里得在他的《幾何原本》中提出了幾何學研究的五條公設作為推理的前提，在此基礎上推導出了一系列複雜的數學結論。隨後這一公理化研究的方法便成為西方科學發展的核心方法之一，發揮出巨大的威力，甚至影響到了其他學科的發展。例如17世紀唯理論哲學家斯賓諾莎的代表作《倫理學》，就是採用了幾何學中先提公設再做推理最後得結論的研究方法來研究哲學問題，而20世紀初期羅素等人所開創的分析哲學，也是想把數學方法引入到哲學分析當中。
而在現代數學的研究中，數學分支日漸龐雜，理論高度抽象，層次不斷深入，公理化方法甚至成為了數學研究的唯一方法。數學研究的路徑逐步確立為：對現實世界或抽象形式進行觀察與總結，對已有的數學概念進行本質分析，進而抽取出一套公理體系，並在此體系下進行邏輯推演從而發展出一整套數學理論。尤其是抽象代數這一門學科的誕生，將這種方法發揮到極致，其他諸如拓撲學，分析學等等，也都是採用的這樣一套方法。
那麼數學家們又是如何確立公理的呢？按照層次的不同主要分為兩種途徑。一是針對一些最基礎的數學概念，如點線面，集合，自然數等等，我們是將一些所謂的“不證自明”的結論作為公理，這種方法主要集中在數理邏輯領域。二是針對抽象層次很高的數學概念，我們是來尋找一些已有的，具有共同特徵的多個數學概念，總結出它們的共同特徵，將此作為一套公理體系。下面就這兩種途徑我來詳細地進行說明。
第一種途徑比較容易理解，在數學發展的早期都採用的是這種途徑。即有一些結論非常的顯然和直觀，很符合我們的感覺，我們可以利用這些結論來推導出其他結論，但是這些結論本身又很難證明，我們便將它們作為公理，例如幾何學的肇始《幾何原本》中的幾條公理（或公設）：兩個直角彼此相等，兩個量如果相等那他們加上同一個量仍然相等，都屬於這種情況。再比如對於自然數這個概念，我們目前採用的是皮亞諾公理系統，這一系統中的一些公理如下，任何一個自然數加1（嚴格的數學概念稱為為自然數的後繼數"successor"）還是自然數，兩個自然數加一相等那這兩個自然數也是相等的。再比如集合這個概念，我們採用的是ZFC公理系統，這一系統的一些公理如下，兩個集合，如果含有的元素相同那這兩個集合是相等的，兩個集合的公共部分仍然是一個集合，等等。
當然，滿足“非常顯然和直觀，但又很難證明”這樣的結論有很多，那我們從中選取哪些作為公理呢？這主要是參照兩個標準，一是對某個數學概念的公理體系的界定必須能清晰的說明這個數學概念的本質，不能產生歧義，更不能產生矛盾。比如自然數這個概念，它的本質就是一個一個往下列，因此我們的公理體系中會有一個自然數的後繼者仍然是自然數這樣一條。第二個標準就是所謂的三性：獨立性，相容性與完備性，這是數理邏輯研究的領域，本文不再詳細展開，大意是指公理與公理之間不能出現重複和矛盾，並且涉及該數學概念的所有真命題都可以從幾條公理中找到答案。
按照這種途徑確立的公理體系最著名的例子就是我們上大學都會學到的概率論。在20世紀以前，概率論的研究基本停留在用排列組合進行數數的階段，即所謂的古典概率時期。而真正意義上的現代概率論，是從蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov，1903-1987）開始的，他利用集合論和測度論的工具，確立了概率論研究的幾條公理，開創了公理概率論這門學科，為了閱讀的方便，本文不打算引入數學符號，只用直白的語言來敘述這幾條公理：
1、任何一個事件發生的概率一定介於0和1之間
2、如果一個事件包含了所有可能的結果，那麼他發生的概率一定是1
3、兩個事件如果沒有交集，那麼他們發生的概率就是二者相加。（想象一下一個球隊去踢球，贏球的概率是0.5，平局的概率是0.3，輸球的概率是0.2，那麼這場比賽不輸球的概率就是0.5+0.3）
柯爾莫哥洛夫，蘇聯最偉大的數學家
可以看到，這三條公理非常清晰且自然地說明了“概率”這一現象的本質，我們目前接觸到的概率論的所有結論，都是從這三條公理中及其相關概念中推導出來的。
用這一途徑確定公理最大的缺陷就是所謂的“不證自明”，一個結論如何是顯而易見並且不需要證明呢？顯而易見只是每個人的自己的主觀感受，又如何做到對同一個事情每個人的感受都一樣呢。正因如此，這樣確定的公理在歷史上引起了巨大的爭議，大名鼎鼎的非歐幾何，就是數學家們認為《幾何原本》中第五條公設不是那麼顯然，甚至不一定是正確的，進而發展出的一整套和理論。同時在集合論的公理中，選擇公理也是這種情況。
而第二種途徑確立的公理相比於第一種就可靠得多。即，我們已經有了一些數學概念，這些數學概念之間有幾個共同的特徵，我們把這幾條共同的特徵總結出來，就把它們作為一套公理系統。最著名的例子就是“群論”這一數學理論。比如我們有如下的數學概念：
1、所有的整數構成一個集合，整數之間存在一個運算叫做加法，這個加法運算有以下性質：滿足結合律；有一個整數是0，任何整數加上0還等於自己；任何一個整數加上自己的相反數就等於這個零。
2、所有的實數構成一個集合，實數之間存在一個運算叫做乘法，這個乘法運算滿足以下性質：滿足結合律；有一個實數是1，任何實數乘以1還等於自己；任何一個實數乘以自己的倒數都等於這個1
3、所有的向量構成一個集合，上面存在一個運算叫做加法，這個運算滿足以下性質：滿足結合律；向量之間存在一個運算叫加法；有一個向量是零向量，任何向量加上零向量還等於自己；任何一個向量加上和自己相反的向量就等於這個零向量。
伽羅華， （Galois，1811-1832），群論的奠基人
上面是三個不同的數學概念，但是它們之間又具有相同的特徵，我們把這個相同的特徵提取來。有一個集合，它上面存在一個運算，滿足三條性質：
1、這個運算滿足結合律
2、集合中存在一個元素，使得集合中任何一個元素與該元素做運算都還等於自己，這個元素稱之為么元
3、對於集合中的任何一個元素，都存在與之對應的另一個元素，使得二者做運算的結果是么元。
我們把這三條性質提取出來之後，為了研究的方便，給他們一個新的名字，稱為群。於是上面三條結論就是群論的三條公理，所有有關群論的理論都是從這三條公理出發的。
這個例子就很好的說明了現代數學中公理是怎麼產生的，因為現代數學研究的對象越來越複雜，很多概念混雜在一起便很難研究，很多性質交錯在一起亂成一團，因此我們把一些具有共同特徵的數學概念放在一起，提取出這一共同特徵，便構成了新的數學概念，這些共同特徵就是新概念的公理體系。這樣做就使得我們的研究變得簡潔並且清晰，在明確的公理體系之下推導出的結論，同樣也適用於那些原有的概念，進而我們對那些原有概念的認識也會提升到一個新的高度，對它們的本質的認識就更加深刻。因此公理化方法就成了現代數學研究的核心方法
數學救火隊長
（文/方弦）
很多人，包括很多搞數學的人，都說數學的基礎是公理。平面幾何的基礎是歐幾里德的公理，定義自然數的是皮亞諾的五條公理，而現代數學的基礎則是策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理，起碼很多人是這樣說的。
但這種說法對麼？
打個比方，要建一幢大樓，先要由設計師繪畫這幢大樓的設計圖，註明每一根柱子每一個窗戶的大小位置和材料，然後由建築工人一梁一柱慢慢建立起來，最後由裝修工人完成裝修。當大樓建好之後，我們能說大樓的基礎就是設計圖嗎？
對，也不對。的確，沒有設計圖建不起大樓，但要建一座教學樓，很多設計圖其實都能用。設計圖告訴我們樓應該怎麼建，但我們是根據要建什麼樓來選擇設計圖，而不是隨便抓一張設計圖，就說我們需要的就是這幢樓。
數學也是如此。
我們建立公理體系，不是因為某個公理天然就是對的，而是因為我們需要用公理去刻畫某些東西。我們要研究自然數，我們覺得自然數應該擁有某些性質，所以我們將這些性質以邏輯的語言化為一個個命題，從中抽取那些我們認為刻畫了最本質特點的那些命題，將它們作為公理。
先有我們要研究的東西，再有公理。而不是先有公理，再研究它的延伸。沒有天然正確的公理，只有適合研究某個東西的公理。畢竟，我們研究數學，是研究抽象結構之間的關係，這些結構很多都從實際生活中抽象而來，或者是因應數學研究的需要而發展出來。我們研究的是這些結構本身，而公理只是我們刻畫這些結構的一種手段。如果反過來，認為公理才是對的，這反而是倒果為因，被單一的系統矇蔽了雙眼。
是的，數學可以有很多種。公理只是我們刻畫數學結構的方法，理解了這一點之後，你看到的數學世界會變得更寬廣。不同的公理體系可以存在，只是它們刻畫的東西不一定相同。同一個東西，可以用不同的公理體系來刻畫。要推廣某個數學概念，只要稍稍放鬆刻畫它的公理體系，就可以了。公理體系並不是什麼不可動搖的基礎，而是我們編織數學詩篇時寫下的提綱，根據這個提綱，故事會根據邏輯自行發展，最終通過人的邏輯思維，導出公理體系指向的圖景。
公理體系並非不可動搖，所以我們當然可以選擇採用什麼公理體系。對於數學家來說，只要公理體系足以刻畫他們研究的數學對象，那就足夠了，採用哪一個其實無所謂。我們說平面幾何就是歐幾里德的公理，其實把一些公理換成等價的命題也未嘗不可，只是因為我們習慣了歐幾里德的提法。我們說定義自然數的是皮亞諾公理，同樣因為是皮亞諾第一個正確用公理刻畫了自然數，那就這樣用了。至於現代數學的基礎為什麼選取了策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理，純粹是因為這套公理足以讓大部分數學家能完成他們的工作，能在這套公理內表達他們研究的數學，所以就這樣了。
這就是數學研究的運作方式。選擇公理的歷史很好地說明了這一點。一開始，巴拿赫和塔斯基證明了，如果承認選擇公理的話，就可以將一個球切成幾塊非常奇怪的形狀（實際上是一堆很勉強才說得上連起來的點），然後重新拼合，得到兩個跟原來一模一樣的球。這又叫巴拿赫-塔斯基分球定理。但後來人們發現，如果不承認選擇公理，得到的結論會更奇怪，比如一個空間可以有兩個維度之類的，而且有很多之前的數學，不承認選擇公理的話根本表達不出來。所以人們還是接受了選擇公理。至於分球定理，實際上因為切成的形狀太奇怪，根本不能定義它的容積，所以現代數學家並不認為這是什麼大問題。
你可能會覺得，選擇公理既然引起過這麼大的爭議，它一定是個很複雜很麻煩的公理吧？但其實它非常簡單，無非就是說，一堆非空集合，必定可以各自選出一個湊在一起，組成一個集合。僅此而已。但即使是這樣“明顯”的公理，數學家也要爭論一番，正是因為他們一開始不清楚，自己所做的數學是否被這個公理刻畫。
再說現代數學的基礎。實際上除了策梅洛-弗蘭克公理體系之外，還有幾個不同的公理體系，它們定義的東西有著確實的差異。但對於大部分數學家來說，他們研究的數學無論建基在哪個公理體系上都可以，所以很多數學家並不關心邏輯根基到底是什麼，他們只需要知道有一個穩固的根基，那就可以了。
太上，下知有之。
Mathemlogical
“公理”這個中文翻譯非常有誤導性！意義更準確的名詞應該是“假設”或“公設”。
數學不是物理，任何一個數學“公理”，都沒有義務要符合事實，符合直覺，符合常識。換句話說，如果你是一個數學家，正在開創一個體系，那麼你在選擇定義“公理”時是相當自由的，數學公理的意義在於：不需證明，我們就假設它們是對的，體系內其它命題則必須完全聰這些假設開始推導。
但數學家同時對“公理”（假設）又十分苛刻，任何一個數學體系裡的公理必須符合幾個要求：
1. 公理之間不可有矛盾（嚴謹性）
2. 公理不可以被其它公理所推導出來（獨立性）
3. 公理的選擇應使盡可能多的甚至所有的命題可以被判定真或偽（完備性）
關於獨立性，最有名的爭議就是歐幾里得幾何的第五公設（平行公理）：過直線外一點有且僅有一條平行線。
兩千年來數學家一直懷疑這是一條定理，應該可以從其它幾條公理推導出來。但最終高斯，羅巴切夫斯基，波利亞等人證明了這就是公理，和其它公理是獨立的。換句話說，我們完全可以換掉這條公理：比如過直線外一點沒有平行線，或有無窮多條平行線，這也可以成為自洽的幾何。這類幾何被稱為：非歐幾何。
在當時（19世紀初）人們大多認為這樣的公理顯然是“不符合現實空間世界的”，但對於純抽象的數學則無不可，非歐幾何是數學家構造出來的想象中的空間。結果大家應該都知道了，大約100年後愛因斯坦發現我們身處的宇宙其實就是非歐空間，歐幾里得那條看起來“顯然符合常識的”平行公理其實並不符合現實。
這個例子說明：數學上構建體系時選擇公理是有苛刻要求的，但不需要和現實物理世界吻合。歐氏幾何，非歐幾何，選用了完全相反的公理，都是可以的。
關於公理體系的嚴謹性和完備性，哥德爾定理證明了兩者不可共存，該證明的前提是該公理體系“足夠強大”，至少包含皮亞納自然數公理體系。一個“不夠強大的”公理體系的例子就是前述的歐幾里得幾何。
數學家可以自由自在的創造體系，選擇公理。但並不是說所有選擇和創造都是一樣好的。時間是個大篩選器：能解決更多問題，更有影響力和追隨者的創造會被留存和發揚光大，反之則逐漸被拋棄和遺忘。
所以即使是數學研究，宏觀的看，也是符合達爾文的進化理論的。
“隨機變異，自然選擇”，這條公理（假設）看來是在各個領域都經受了時間的考驗。
帖木兒
這個問題有毛病。1、所謂公理，是指其正確性為人們所公認，不需要證明和確認的事實。2、空間兩點之間直線段最短。而不是直線最短。3、經過一點可以做無數條直線和射線。4、經過兩定點的直線唯一，直線段唯一。5、經過空間三點能夠，且僅能夠確定唯一的平面。6、就有限數量而論，整體大於或等於部分。7、數學公理無須藉助物理學或其他科學耒確認。8、無論自然科學或社會科學，都應當以哲學和數學為兩大基礎。
針對某人談數學公理的確認，暫述8條以為申辯。
咸陽鄭秦雲
鄭秦雲
確立一套規範的公理體系，並以此為基礎進行演繹推理，是數學，尤其是現代數學的核心研究方法。任何一個成熟的數學理論和數學概念，第一步都是要確立它所滿足的公理體系。這一方法是由古希臘人開創的，歐幾里得在他的《幾何原本》中提出了幾何學研究的五條公設作為推理的前提，在此基礎上推導出了一系列複雜的數學結論。隨後這一公理化研究的方法便成為西方科學發展的核心方法之一，發揮出巨大的威力，甚至影響到了其他學科的發展。例如17世紀唯理論哲學家斯賓諾莎的代表作《倫理學》，就是採用了幾何學中先提公設再做推理最後得結論的研究方法來研究哲學問題，而20世紀初期羅素等人所開創的分析哲學，也是想把數學方法引入到哲學分析當中。
而在現代數學的研究中，數學分支日漸龐雜，理論高度抽象，層次不斷深入，公理化方法甚至成為了數學研究的唯一方法。數學研究的路徑逐步確立為：對現實世界或抽象形式進行觀察與總結，對已有的數學概念進行本質分析，進而抽取出一套公理體系，並在此體系下進行邏輯推演從而發展出一整套數學理論。尤其是抽象代數這一門學科的誕生，將這種方法發揮到極致，其他諸如拓撲學，分析學等等，也都是採用的這樣一套方法。
那麼數學家們又是如何確立公理的呢？按照層次的不同主要分為兩種途徑。一是針對一些最基礎的數學概念，如點線面，集合，自然數等等，我們是將一些所謂的“不證自明”的結論作為公理，這種方法主要集中在數理邏輯領域。二是針對抽象層次很高的數學概念，我們是來尋找一些已有的，具有共同特徵的多個數學概念，總結出它們的共同特徵，將此作為一套公理體系。下面就這兩種途徑我來詳細地進行說明。
第一種途徑比較容易理解，在數學發展的早期都採用的是這種途徑。即有一些結論非常的顯然和直觀，很符合我們的感覺，我們可以利用這些結論來推導出其他結論，但是這些結論本身又很難證明，我們便將它們作為公理，例如幾何學的肇始《幾何原本》中的幾條公理（或公設）：兩個直角彼此相等，兩個量如果相等那他們加上同一個量仍然相等，都屬於這種情況。再比如對於自然數這個概念，我們目前採用的是皮亞諾公理系統，這一系統中的一些公理如下，任何一個自然數加1（嚴格的數學概念稱為為自然數的後繼數"successor"）還是自然數，兩個自然數加一相等那這兩個自然數也是相等的。再比如集合這個概念，我們採用的是ZFC公理系統，這一系統的一些公理如下，兩個結合，如果含有的元素相同那這兩個集合是相等的，兩個集合的公共部分仍然是一個集合，等等。
當然，滿足“非常顯然和直觀，但又很難證明”這樣的結論有很多，那我們從中選取哪些作為公理呢？這主要是參照兩個標準，一是對某個數學概念的公理體系的界定必須能清晰的說明這個數學概念的本質，不能產生歧義，更不能產生矛盾。比如自然數這個概念，它的本質就是一個一個往下列，因此我們的公理體系中會有一個自然數的後繼者仍然是自然數這樣一條。第二個標準就是所謂的三性：獨立性，相容性與完備性，這是數理邏輯研究的領域，本文不再詳細展開，大意是指公理與公理之間不能出現重複和矛盾，並且涉及該數學概念的所有真命題都可以從幾條公理中找到答案。
按照這種途徑確立的公理體系最著名的例子就是我們上大學都會學到的概率論。在20世紀以前，概率論的研究基本停留在用排列組合進行數數的階段，即所謂的古典概率時期。而真正意義上的現代概率論，是從蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov，1903-1987）開始的，他利用集合論和測度論的工具，確立了概率論研究的幾條公理，開創了公理概率論這門學科，為了閱讀的方便，本文不打算引入數學符號，只用直白的語言來敘述這幾條公理：
1、任何一個事件發生的概率一定介於0和1之間
2、如果一個事件包含了所有可能的結果，那麼他發生的概率一定是1
3、兩個事件如果沒有交集，那麼他們發生的概率就是二者相加。（想象一下一個球隊去踢球，贏球的概率是0.5，平局的概率是0.3，輸球的概率是0.2，那麼這場比賽不輸球的概率就是0.5+0.3）
柯爾莫哥洛夫，蘇聯最偉大的數學家
可以看到，這三條公理非常清晰且自然地說明了“概率”這一現象的本質，我們目前接觸到的概率論的所有結論，都是從這三條公理中及其相關概念中推導出來的。
用這一途徑確定公理最大的缺陷就是所謂的“不證自明”，一個結論如何是顯而易見並且不需要證明呢？顯而易見只是每個人的自己的主觀感受，又如何做到對同一個事情每個人的感受都一樣呢。正因如此，這樣確定的公理在歷史上引起了巨大的爭議，大名鼎鼎的非歐幾何，就是數學家們認為《幾何原本》中第五條公設不是那麼顯然，甚至不一定是正確的，進而發展出的一整套和理論。同時在集合論的公理中，選擇公理也是這種情況。
而第二種途徑確立的公理相比於第一種就可靠得多。即，我們已經有了一些數學概念，這些數學概念之間有幾個共同的特徵，我們把這幾條共同的特徵總結出來，就把它們作為一套公理系統。最著名的例子就是“群論”這一數學理論。比如我們有如下的數學概念：
1、所有的整數構成一個集合，整數之間存在一個運算叫做加法，這個加法運算有以下性質：滿足結合律；有一個整數是0，任何整數加上0還等於自己；任何一個整數加上自己的相反數就等於這個零。
2、所有的實數構成一個集合，實數之間存在一個運算叫做乘法，這個乘法運算滿足以下性質：滿足結合律；有一個實數是1，任何實數乘以1還等於自己；任何一個實數乘以自己的倒數都等於這個1
3、所有的向量構成一個集合，上面存在一個運算叫做加法，這個運算滿足以下性質：滿足結合律；向量之間存在一個運算叫加法；有一個向量是零向量，任何向量加上零向量還等於自己；任何一個向量加上和自己相反的向量就等於這個零向量。
伽羅華， （Galois，1811-1832），群論的奠基人
上面是三個不同的數學概念，但是它們之間又具有相同的特徵，我們把這個相同的特徵提取來。有一個集合，它上面存在一個運算，滿足三條性質：
1、這個運算滿足結合律
2、集合中存在一個元素，使得集合中任何一個元素與該元素做運算都還等於自己，這個元素稱之為么元
3、對於集合中的任何一個元素，都存在與之對應的另一個元素，使得二者做運算的結果是么元。
我們把這三條性質提取出來之後，為了研究的方便，給他們一個新的名字，稱為群。於是上面三條結論就是群論的三條公理，所有有關群論的理論都是從這三條公理出發的。
這個例子就很好的說明了現代數學中公理是怎麼產生的，因為現代數學研究的對象越來越複雜，很多概念混雜在一起便很難研究，很多性質交錯在一起亂成一團，因此我們把一些具有共同特徵的數學概念放在一起，提取出這一共同特徵，便構成了新的數學概念，這些共同特徵就是新概念的公理體系。這樣做就使得我們的研究變得簡潔並且清晰，在明確的公理體系之下推導出的結論，同樣也適用於那些原有的概念，進而我們對那些原有概念的認識也會提升到一個新的高度，對它們的本質的認識就更加深刻。因此公理化方法就成了現代數學研究的核心方法
馬丁156
數學界的兩點之間直線最短在自然界可以認為是公理，如果在物理量子力學上找到兩個點都是幻象，根本就沒有靜止的粒子點，在加上多維，粒子波的話，兩個點是不存在的。可回過頭來，兩個點在引力波介面上又可以找到，又是現實的，這就有了結論：數學在自然界是兩面性的。
