【分析方法导引】
当几何问题中，出现了角平分线和向角平分线所作的垂线的时候，就要想到可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。
若角平分线的垂线没有过角的顶点时，可直接将角平分线的垂线延长到与角的两边相交，构成等腰三角形中重要线段的基本图形，然后再应用一次轴对称型全等三角形来完成分析。
若角平分线的垂线经过角的顶点时，则应将角平分线的垂线平行移动，使它离开角的顶点，然后再与角的两边相交构成等腰三角形中的重要线段的基本图形。
例1 如图3-112，已知：△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是角平分线，CE⊥BD垂足是E，求证：BD=2CE。
图3-112
分析：本题的条件中出现了BD是角平分线和CE⊥BD，就构成了角平分线和向角平分线所作的垂线之间的组合关系，所以必定构成一个等腰三角形的基本图形。由于这个等腰三角形是由角平分线的垂线和角的两边相交得到的，而现在这条角平分线的垂线CE还仅仅是和角的一边BC相交，所以应将它延长到和另一边BA也相交，于是延长CE交BA的延长线于F（如图3-113），即可得△BFE≌△BCE，FE=CE。而问题要证明的结论是BD=2CE，而现在已经的得到的是FC=2CE，所以问题就成为要证明BD=CF。
图3-113
由于现在这两条要证明相等的线段BD和CF可以分别看作是Rt△BDA和Rt△CFA的斜边，且已知这两个三角形必定全等（如图3-114）。当然在证明这两个三角形全等时，BD=CF这一性质是不能用的，所以还要另外证明一个性质。由于条件给出了∠BEA=90°，所以∠DBA+∠F=90°，同样的道理由∠CAF=90°，可得∠FCA+∠F=90°，从而可推得∠DBA=∠FCA，这两个三角形全等就可以证明，分析就完成。
图3-114
例2 如图3-115，已知：△ABC中，BD、CE是角平分线，AF⊥CE、AG⊥BD，垂足分别是F、G。求证：（1）FG∥BC （2）FG=1/2（AB+AC-BC）
图3-115
分析：本题条件中出现了两条角平分线和两条角平分线的垂线，所以它们就构成了角平分线和向角平分线所作的垂线之间的组合关系，也就必定得到一个等腰三角形的基本图形。找这个等腰三角形的方法就是将角平分线的垂线延长到和角的两边相交。
如果我们先讨论角平分线BD和BD的垂线AG，那么延长AG交BC于H后，就可得∠BAH=∠BHA，BA=BH和AG=HG。根据同样的道理，延长AF交BC于K后，可得AC=KC，AF=KF（如图3-116）。
图3-116
现在由G是AH的中点和F是AK的中点，就出现了两个中点，是多个中点问题，就可以应用三角形中位线的基本图形进行证明。由于已知中点F、G所在的线段AK、AH有公共端点A，可以组成△AKH，所以FG这两个中点的连续就是这个三角形的中位线，所以就可得FG∥KH，FG=1/2KH。由此即可证明FG∥BC。对于第二个结论可与上述等量关系进行比较，可知问题就是要证AB+AC-BC=KH，由于AB+AC-BC=BH+CK-BC=BH+（KH+CH）-BC=（BH+CH）+KH-BC=KH，所以分析就可以完成。
对于这个问题的第一个结论，由于这是两条平行线的判定问题，从而可以应用平行线的基本图形的性质进行证明。由FG、BC被BD（或CE）所截，问题就可证∠1=∠2（如图3-117）。
图3-117
若设BD、CE的交点为I，则由条件∠AFI=∠AGI=90°，可得A、F、I、G四点共圆，于是就可应用圆周角的基本图形的性质进行证明，所以联结AI（如图3-118）即可得∠1=∠3，这样问题就转化成为要证明∠2=∠3。
图3-118
由条件BD、CE是角平分线，所以I是△ABC的内心，AI就成为∠BAC的角平分线，∠3就成为∠BAI也就是1/2∠A的一部分，而∠2又是1/2∠B，所以想到要应用三角形的三个内角的半角关系来进行分析。于是就有∠2+（∠3+∠4）+∠5=1/2∠B+1/2∠A+1/2∠C=90°，从而应证明的结论∠2=∠3就可以转化为要证明2∠2+∠4+∠5=90°。而由条件AF⊥CE，所以∠4+∠AEF=90°，比较这两个关系，可得问题成为要证2∠2+∠5=∠AEF。由于A、E、B成一直线，∠AEF可以看成是△BEC的一个外角，所以应用三角形外角定理即可证明∠AEF=∠EBC+∠ECB=2∠2+∠5，分析就可以完成。