艾伯史密斯
數學上有許多讓人眼前一亮的證明，其中只勾股定理的證明過程就可達十幾種，我們下面就來看看。
勾股定理是我們初中數學的內容，屬於平面幾何的定理，就是在一個直角三角形中，兩個直角邊分別為a,b。斜邊為c。那麼，a²+b²=c²。
如何證明呢？
第一種，趙爽證明法。
我們可以以a和b為直角邊，其中b＜a，以c為斜邊分別做四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形拼成如下圖所示的一個大正方形。那麼，
組成的大正方形的面積就是c²，而這四個同等的直角三角形的面積為1/2ab，所以四個直角三角形面積之和為4×1/2ab=2ab
而中間的藍色的小正方形邊長為a－b，所以小正方形的面積就是（a－b）²
所以中間藍色小正方形的面積就等於外面大正方形的面積減去四個直角三角形面積之和，也就是，（a－b）²=c²－4×1/2ab
a²+b²－2ab=c²－2ab
所以就可以得出，a²+b²=c²
第二種是鄒元治證明法。
還是做以a,b為直角邊，c為斜邊的直角三角形，將四個全等的直角三角形拼成下圖的形狀，可見，這四個三角形拼成了一個正方形。就可以通過正方形面積公式，直角三角形面積公式來證明勾股定理。
如圖所示，外面大正方形的邊長為a+b，所以它的面積就是（a+b）²，而三角形的面積為1/2ab
我們從圖中可以看出內部是由三角形的斜邊c構成的一個正方形，所以它的面積就是c²
中間小正方形的面積就等於外面大正方形的面積減去四個直角三角形面積之和。
也就是，c²=（a+b）²－4×1/2ab，
c²=a²+b²+2ab－2ab
所以，c²=a²+b²
其實，關於勾股定理的證明方法有十六種，還有美國總統證明法，課本證明法，梅文鼎證明法，項明達證明法，歐幾里得證明法，楊作梅證明法，相似三角形證明法，李銳證明法，切割線定理證明法，多列米定理證明法等等，今天就暫時先講了這兩種。
其實在數學史上還有許多有趣的證明，你們還知道有哪些嗎？
時間史
看了幾個回答談到了反證法，想起了我一直的一個疑惑，和題目關係不是很大，我覺得反證法本身可能就有問題。
我高中的時候有一次數學練習題，有一道證明題，具體我忘了，總之大概就是給了一些條件，最後證明k>2，我當時就沒有解出來，後來老師講題的時候用的反證法，倒推後證明k<=2時與題目給定的條件不一致，所以k>2成立，其實這種題高中時倒也常見，但我當時突然有點疑問，就問了老師一個問題，如果我不去證明k<=2時不符合給定的條件，而是去證明k<=1時不符合給定的條件（這個肯定是成立的，因為k<=2的區間包含k<=1），那麼這個題不就無法證明了？怎麼確認“2”是恰好的分界點？也許還有"2.1"、“3”啊，老師讓我證明一遍，我用反證法很快照著老師的思路證明k<=1時，不符合題目給定的條件，所以k>1(事實上，k>1包含k>2)，老師當時也有點懵，我當時學習不是那種很好的，老師就說讓我別考慮別的數字，既然題目是2，就用2。所以，我一直到現在都覺得反證法本身是有侷限的，甚至是有問題的。當然，一家之言，我本身數學也不大好，如果不對請勿噴，如果有人能解答疑惑，萬分感謝。
看了很多回復，我覺得應該重申一下我要說的關鍵，我不是說這個題怎麼樣，我是對反證法這種證明方法有異議，因為這種證明題，一般都是根據條件推導出結論，幾乎沒用過反證法。如果把這個題改一下，其他條件都不變，但改成不知道結論的求解題，大家隨便假設一個數，然後反證法證明了，這個過程也沒有問題，但明顯不對，再說如果我反證法證明了k>3，那算不算對？如果一個證明方法等得出很多不同的結果，還有什麼意義？這裡重點是那個恰好的節點，如果能證明2就是那個節點，那就不需要用反證法了。
流落星空
說一個小時候，寒木死活想不明白，僅靠記憶做題……
長大了，看到證明後，才心服口服的東東。
證明過程超級簡單，小學三年級的人都能看懂。
除數不能等於零！
這是小學老師告訴我們的，但那時，他們很少告訴我們，這是為什麼。
他們大多隻會一邊敲著黑板一邊大喊：除數等於零，沒有意義！沒有意義！
這個“沒有意義”實在是太難以理解了，折磨了寒木很長時間。
現在，我們用反證法來證明一下：
假設，0可以作為除數，則：
0×1=0
0×2=0
所以：
0×1=0×2
因為0可以作為除數，所以……
兩邊再除以0，得：
化簡一下：
得：
1=2
矛盾，所以，0不能作為除數。
小學六年級的時候，如果老師能給我們這麼證明一下，我們就不會去深入思考，那個“沒有意義”到底是個什麼意義了。
最後，來一個趣味題。
話說，有4個算命先生，分別是A、B、C、D先生。其中：
A先生：準確率10%，收費5元；
B先生：準確率45%，收費10元；
C先生：準確率60%，收費15元；
D先生：準確率80%，收費20元；
那麼，你該選擇哪個呢？既要追求準確率，還要追求性價比，能同時做到嗎？
答案太容易了。
這樣去思考，A先生的準確率只有10%，那就說明，他的錯誤率就是：
1-10%=100%-10%=90%
因此，你每次去找他算命，如果他說：
小夥子，你今年沒有桃花運，要2020年才有哦。
則：
你今年擁有桃花運的概率是90%。
但你只需要花5塊錢。
寒木釣萌
我業餘數學興趣者。有人證明：0.999…=1 證明大致可為
因為 1=3/3
=1/3+2/3
=0.333…+0.666…
=0.999…
所以 0.999…=1
我以為上述證明漏洞，嚴謹地講 1/3、2/3應當表述為：
1/3=0.333…+無窮小量
2/3=0.666…+無窮小量
其符號…僅表述了無限循環數，
所以 1=1/3+2/3
=0.333…+無窮小量+0.666…+無窮小量
=0.999…+無窮小量
而 0.999…不等於0.999…+無窮小量，
所以 0.999…不等於1
以上為我業餘數學興趣者陋見，喜諸位老師指正。
甘雲雄
生日悖論，一個班有50個學生，存在相同生日的概率為97%。怎麼算的很簡單，但就是結果讓你想不到。
陳卓0119
1.證明你媽是你媽
2.證明1=0.99999999999999999999999999999999999999999999999
3、證明e∧iπ+1=0
4、證明E=MC²
哇長門
和伽利略的“物體落地速度與質量無關”的論證相比，其他的都弱爆了。
按照從前，甚至現在一部分人的固有思維，如果一個大鐵球一個小鐵球從同樣的高度自由落體，應該是大的鐵球先落地。
如果要論證這條理論的錯誤，很多人可能會從空氣阻力、物體質量、受力形狀等方方面面分析。
可是伽利略用了一個極其簡單的辦法論證，他就發問：如果把兩個鐵球用繩子連起來，那麼速度又會怎樣？
這就是一個悖論：按理，大小鐵球連在一起，一個速度慢一個快，那麼速度應該是二者平均。可是兩個鐵球連在一起，質量是大於大鐵球的，應該比大鐵球下落速度更快。
於是伽利略論證物體自由落體速度與自身質量無關。並當眾演示（歷史上並沒有記載是在比薩斜塔）
在美國的阿波羅計劃裡，宇航員在月球也重複了這個實驗。
只是一根繩子就打破了人的固有印象，沒有任何說教與繁複的證明，就是小學生也可以輕易理解，要說論證的巧妙名副其實，還帶火了那座本是建築失敗品的比薩斜塔。
用戶11571625180
也算是對幾十年數學學習的一個小結吧。
列一下從小到大給予我震撼的數學證明：
四年級：證明√2是無理數（亞里士多德），第一次接觸反證法。另一類似的題是歐幾里得證明素數有無限個。
六年級：3*3*3的立方體可否只用5刀（每次可以重組）切成27個單位小立方體？答案是不能（因為中心的單位立方體的6個面都需要刀切），這是我第一次學習尋找數學問題中的“不動點”，或者說是“特徵值/函數”
初二（數競班）：任意階線性遞歸數列求通項。當時對這個“特徵方程”深感神秘，直到後來上大學才意識到這是微積分的基本應用。
高一：證明有理數和自然數一樣多，第一次接觸到集合論和“一一對應法則”。
高三上：儘管高聯拿到了省第一，但第二試的第二題只做出一半。這題本身不值一提，但當時讓我意識到自己的數學水平還停留在冷兵器時代：還沒有掌握“火藥”，即微積分思想。
高三下（集訓隊）：證明無理數比有理數多（類似的：無窮集合冪集>原集），被康托爾精妙的“對角線方法”折服。
大一：e的一切，罄竹難書的美妙！微積分也從此變得有趣。
大二：歐拉公式的推導，你無法不對歐拉的敏銳和深刻頂禮膜拜。
大三：古希臘三大尺規作圖問題不可解，五次以上方程沒有一般根式解。天才伽羅華！抽象代數也是我最喜歡的數學課之一。
入行工作後第一年：算術編碼理論，花一晚上看懂後大腦高潮了好久。
…
最近一次是幾年前，看到絕對反常識的banach-tarski定理的證明，太tm漂亮了！
其實還有很多極其精彩的數學證明，不過大多超出了我的知識範圍，只能不明覺厲。
帖木兒
數學一向以嚴謹的思維著稱，每一步推理都需要嚴格的理由。但在數學歷史中，漏洞百出的數學推理也頻頻出現。有趣的是，即使是這些不嚴格的思路也充滿著智慧，在數學中的地位不亞於那些偉大的證明。今天筆者舉例幾個經典讓人拍案叫絕的異類證明，來說明在數學裡證明有時也是可以耍流氓的。
1.勾股定理得的無字證明
這個大家小學就學過的古老定理，有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這裡給出一個不需要語言的證明方法。
最直觀的證明：
實際上勾股定理是餘弦定理的一種特殊情況，而餘弦定理的證明，同樣可以不用語言。
2.歐拉的流氓證明法
在數學史上，很多漂亮的定理最初的證明都是錯誤的。最典型的例子可能就是 1735 年大數學家歐拉（Euler）的“證明”了。他曾經仔細研究過所有完全平方數的倒數和的極限值，並且給出了一個漂亮的解答：
這是一個出人意料的答案，圓周率 π 毫無徵兆地出現在了與幾何完全沒有關係的場合中。歐拉的證明另闢蹊徑，採用了一種常人完全想不到的絕妙方法。他根據方程 sin(x)/x = 0 的解，對 sin(x)/x 的級數展開進行因式分解，再利用對比係數的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進行因式分解的方法只適用於有限多項式，在當時的數學背景下，這種方法不能直接套用到無窮級數上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴格的類比，卻得出了正確的結果。歐拉大師耍了一個漂亮的流氓。
3.幾何平均值小於算術平均值
這是不等式中最重要和基礎的等式：
它也可以通過圖形來證明。
注意到△ABC∽△DBA ,可以很輕鬆地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。
4.最受數學家喜愛的無字證明
1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。
《美國數學月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形塗上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。
它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。死理性派曾經討論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。
5..棋盤上的數學證明
在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？
答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。
但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,並且關於這個結論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結論。
上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。
這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁•加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。
6.旋輪線的面積求解
車輪在地上旋轉一圈的過程中，車輪圓周上的某一點劃過的曲線就叫做“旋輪線”。在數學和物理中，旋輪線都有著非常重要而優美的性質。比如說，一段旋輪線下方的面積恰好是這個圓的面積的三倍。
在試遍了各種數學方法卻都以失敗告終之後，伽利略果斷地耍起了流氓，用物理實驗的方法測出了圖形的面積。用物理實驗解決數學問題也不是一件稀罕事了，廣義費馬點（generalized Fermat point）問題就能用一套並不複雜的力學系統解出，施泰納問題（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜實驗瞬間秒殺。
中學數學深度研究
這個問題是很帶有主觀色彩的，畢竟每個人看法不一樣，我只說出我認為數學上好的證明過程。
無理數的無理數次方可能為有理數
說實話無理數的無理數次方讓人聽起來就有點頭暈，現在還要證明其結果可能為有理數。有些數學不好的人可能腦袋都要大了。
但總有一些人我們理解不了，例如這種證法若根號2的根號2次方為有理數，命題得證以得證。如果這個數扔為無理數那麼:
此時我們同樣得到了一個無理數的無理數次方是有理數的例子。怎麼樣，是不是想拍案叫絕？
中國古人對勾股定理的證明
勾股定理沒有人不知道，但是這只是以我們現在的眼界去看。想想我們的古人在千年之前就能夠證明了！
這是三國時期趙爽的證明過程:
三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青放併成弦方。依其面積關係有a^2+b^2=c^2.由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。 以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補
虛，只要把圖中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c……2 ）。由此可證勾股定理。
其他證明
其實數學上讓人驚歎的證明過程有很多很多，仔細翻一翻自己的高中數學書或者高等數學書你會發現很多證明過程簡直令人驚歎，有時忍不住會想，他們的腦回路是怎麼轉的。
數學史上，比如費馬大定理的證明，關於積分的證明，哥德巴赫猜想等等都是人類智慧的結晶。
你碰到過什麼讓你讚歎的數學證明嗎？