将1、2、3……10这10个整数,按照一定的顺序围成一圈。
问题1:是否存在一种顺序,使得相邻三个数的和的最大值为18。
解:存在,如图1。
图1
问题2:是否存在一种顺序,使得相邻三个数的和的最大值为16。
解:不存在。
设a1、a2、a3……a10是将1、2、3……10这10个整数的一种环形排列。
则
(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+(a3+a4+a5)+……+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2)
=3×(a1+a2+a3+……+a10)
=3×(1+2+3+……+10)
=165。
假设相邻三个数的和的最大值为16,则上式中的和不可能大于160,这与上式中的和为165矛盾。所以假设错误。
问题3:是否存在一种顺序,使得相邻三个数的和的最大值为17。
解:要使相邻三个数的和最大值不超过17,10与9、8、7之间至少要间隔2个数,如图2,9,8,7三数必须在下方的五个位置中。
图2
不妨假设9在左侧,由于9与8之间至少间隔2个数,9与7之间至少间隔1个数。所以9、8、7的位置只有以下5种情况:
情况1:如图3。
图3
填好1,2以后,6无处安放,如图4。
图4
情形2:如图5。
图5
因为6不能与10相邻,这时6只能与9相邻,这时1、2既需要与7、8相邻,又需要与6、9相邻,不能实现。
情形3:如图6。
图6
这时6只能放9或者8上面的位置,无论放那里,5、4没地方放。
情形4:如图7。
图7
因为6不能与10相邻,这时6只能与9相邻,这时1、2既需要与7、8相邻,又需要与6、9相邻,不能实现。
情形5:如图8。
图8
发展如图9,这时6无处放。
图9
综上,相邻三个数的和的最大值为17是不可能的。
对于问题3,不知道是否有简明的方法,在此求教方家。