知識鏈接:
1.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合;
2.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(SAS).
題目:
如圖1,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC於D,E是AD上一點,且EA=EC.
求證:EB⊥AB.
圖1
證明:
如圖2,過點E,作EF⊥AC,交AC於點F,則∠EFA=90°.
圖2
因為EA=EC,EF⊥AC,
所以AF=CF=1/2AC;
因為AC=2AB,
所以AB=1/2AC;
所以AB=AF.
因為AD平分∠BAC,E是AD上一點,
所以∠BAE=∠FAE.
在△ABE和△AFE中,
因為AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,
所以△ABE≌△AFE(SAS).
所以∠EBA=∠EFA=90°.
所以EB⊥AB.
點撥:
由“等腰三角形的底邊上的高,底邊上的中線相互重合”,作“底邊AC上的高EF”,是證明“EB⊥AB”的基礎,證”△ABE≌△AFE“是證“EB⊥AB”橋樑.