在可数基数 ℵ 0 和实数集合的基数 c 之间没有其它的基数.
如前所述, 从 1874 年开始康托尔发表了关于集合论的一系列文章. 正当他踌躇满志而又一帆风顺地发展他那极具创新思想的超限数理论时, 却遇到了意想不到的困难. 1878 年, 康托尔在证明了正整数的基数 ℵ 0 和连续统基数 (即实数集合的基数)c 之间满足关系 2^ ℵ 0 = c后, 就猜想 ℵ 0 和 c 之间再也没有其它的基数, 即不存在一个集合 X, 使得 X 的基数 α 满足
该猜想被称为连续统假设. 然而, 康托尔无论怎样的努力, 也始终不能证明这个猜测. 虽然他在 1882 年曾宣布自己已经证明了连续统假设, 但由于他至死也没能拿出证明过程, 大家都认为康托尔一定是发现了证明中的错误. 事实上, 有许多数学家都曾致力于证明连续统假设, 但在相当长的时间内毫无进展. 德国数学家希尔伯特在 1900 年提出的 23 个数学问题中, 第一个就是要证明这个连续统假设. 但到目前为止, 这个傲视数学家长达一百多年的连续统假设仍未获得彻底解决, 它就想黎曼猜想一样, 几乎成了整个数学界的头等难题.
虽然连续统问题如此之难, 但在 20 世纪数学基础的研究中还是取得了两个突破. 第一个来自 1938 年奥地利数理逻辑学家哥德尔 (K.Godel, 1906-1978), 他证明了连续统假设与我们通常的集合论公理系统 (即策莫罗-弗朗克尔公理系统, 简称为 ZF 系统) 是相容的 (即相互不矛盾), 只要该系统本身是相容的. 换句话说, 在通常集合论公理相容的条件下, 我们不可能在该系统中证明连续统假设是错的. 第二个突破出现在 1963 年, 美国数学家柯恩 (P.J.Cohen,1934- ) 又证明了另一半结论: 在相容条件下的 ZF 系统同样推不出连续统假设是对的. 综合起来讲, 他们证明了连续统假设在 ZF 系统中是一个不可判定的命题. 这当然是一项伟大的成就, 特别是科恩为此创立的“力迫法”在数学基础的研究中引起了技术性的变革, 柯恩也因此在 1966 年荣获菲尔茨奖.
100个数学问题