一、逆向思考與多解問題
例1
在一個六邊形的內角中，最多有_______個銳角．
解析：
由於多邊形的外角和是360°，是不變的，所以可以藉助外角來分析．可知四個鈍角的和大於360°，所以最多隻有3個鈍角作外角，而每個內角與其相鄰的外角是鄰補角，則內角中，最多有3個銳角．
例2
已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，點A，B，C分別是射線OM，OE，ON上的動點（點A，B，C均不與點O重合），連接AC交射線OE於點D，設∠OAC＝x°，
(1)如圖①，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數是_________；
②當∠BAD＝∠ABD時，x＝_________；
當∠BAD＝∠BDA時，x＝_________；
(2)如圖②，若AB⊥OM，是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
圖① 圖②
解析：
(1)①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°．
∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝20°．
②∵AB∥ON，∴∠MON＋∠OAB＝180°，
∴∠OAB＝140°，
∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，
∠OAC＝∠OAB－∠BAD ＝120°．
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，∠OAC ＝∠OAB－∠BAD ＝60°．
故答案為：①20 ②120，60
(2)存在
二、模型全覆蓋
例1
(1)如圖①，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交於點E，∠ADC＝32°，∠ABC＝30°，求∠E的大小．
(2)如圖②，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交於點E，則∠E與∠D，∠B之間是否仍存在某種等量關係？若存在，請寫出你的結論，並給出證明；若不存在，請說明理由．
圖① 圖②
解析：
(1)由題意得，
∠D＋∠1＝∠E＋∠3＝∠5①，
∠E＋∠2＝∠B＋∠4＝∠6②，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①－②得，∠D－∠E＝∠E－∠B，
2∠E＝∠D＋∠B＝62°，∠E＝31°．
(2) 由題意得，
∠E＋∠2＝∠B＋∠3①，
延長BC交AD於F，
∠BCD＝∠1＋∠2＝∠D＋∠5，
∠5＝∠B＋∠BAF，
∴∠1＋∠2＝∠D＋∠B＋∠3＋∠4②，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①×2得，2∠E＋2∠2＝2∠B＋2∠3③，
③－②得，2∠E＝∠B－∠D．
例2
如圖①，直線MN⊥直線PQ，垂足為O，點A在射線OP上，點B在射線OQ上（A、B不與O點重合），點C在射線ON上，且OC＝2，過點C作直線l∥PQ，點D在點C的左邊且CD＝3．
(1)直接寫出三角形BCD的面積．
(2)如圖②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分線交OC於E，交AC於F，求證：∠CEF＝∠CFE．
(3)如圖③，若∠ADC＝∠DAC，點B在射線OQ上運動，∠ACB的平分線交DA的延長線於點H，在點B運動過程中，∠H:∠ABC的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化範圍．
圖① 圖② 圖③
解析：
tips
本學期基本模型有平行線拐角模型，規形圖模型，八字形模型，三角形內外角平分線模型，翻折模型等，基本都能借助外角來證明．
三、旋轉問題
例1
如圖，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，點D在邊OA上，將圖中的△AOB繞點O按每秒20°的速度沿逆時針方向旋轉一週，在旋轉的過程中，在第t秒時，
(1)邊CD所在直線恰好與邊AB所在直線平行，則t的值為_______．
(2)邊CD所在直線恰好與邊AB所在直線垂直，則t的值為_______．
解析：
(1)①設CD延長線⊥A'B'於E，
∵∠B'＝50°，∠C＝60°，∠CEB'＝90°，
∴∠COB'＝360°－60°－50°－90°＝160°，
∴∠BOB'＝20°，即20t＝20，t＝1；
②設DC延長線⊥A'B'於F，交B'O於G，
∵∠B'＝50°，∴∠B'GF＝∠CGO＝40°，
∠COB'＝∠DCO－∠CGO＝20°，
∴∠BOC＋∠COB'＝180°＋20°＝200°，
即20t＝200，t＝10；
(2)①設CD交OB'於E，則∠1＝∠B'＝50°，
∠BOB'＝∠C＋∠1＝110°，
即20t＝110，t＝5.5；
②設B'A'交OB於F，則∠2＝∠C＝60°，
∠BOB'＝180°－∠2－∠B'＝70°，
∴∠BOC＋∠COB'＝360°－70°＝290°，
即20t＝290，t＝14.5；
例2
如圖(1)，直角△ABC與直角△BCD中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，固定△BCD，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉一個大小為α的角(0＜α＜180°)得到△ACB'．
(1)在旋轉過程中，當B'C⊥BD時，α＝_________．
(2)如圖(2)，旋轉過程中，若邊AB'與邊BC相交於點E，與邊BD相交於點F，連接AD，設∠DAB'＝x，∠BCB'＝y，∠ADB＝z，試探究x＋y＋z的值是否發生變化，若不變請求出這個值，若變化，請說明理由．
(3)在旋轉過程中，當AB'與△BCD的邊平行時，直接寫出α的度數．
解析：
(1)設B'C⊥BD於G，∵∠B＝45°，∠CGB＝90°，∴∠BCB'＝45°，α＝45°．
(2)在△ADF中，x＋z＝∠1，
在△CGB中，y＋∠B＝∠2，
∴x＋y＋z＋∠B＋∠B'＝∠1＋∠2＋∠B'＝180°，
∴x＋y＋z＝180°－∠B－∠B'＝75°．
(3)
①AB'∥CD，∴∠1＝∠B'＝60°，
∠BCB'＝30°，α＝30°．
②AB'∥BD，∴∠1＝∠B'＝60°，
∠BCB'＝180°－60°－45°＝75°，α＝75°．
③AB'∥BC，∴∠BCB'＋∠B'＝180°，
∠BCB'＝120°，α＝120°．
四、操作類面積問題
例1
如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，請找出所有的格點Q，使S△ACQ＝S△ABC．
解析：
①以AC為公共底，則過點B作AC的平行線即可．
②以AC為中線，延長BC到Q，使QC＝BC，再過點Q作AC的平行線即可．
兩條平行線與網格相交的格點即為所求．
例2
我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：
(1)如圖① ，在四邊形ABCD中，對角線BD的中點為O，連結OA、OC．顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE∥AC交CD於E，則直線AE即為一條“好線”．試說明直線AE是“好線”的理由；
(2)如圖②，AE為四邊形ABCD一條“好線”，F為AD邊上的一點，請作出經過F點的“好線”，並對畫圖作適當說明(不需要說明理由)．
圖① 圖②
解析：
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