中考總複習:圓綜合複習—鞏固練習(提高)
【鞏固練習】
一、選擇題
1.已知兩圓的半徑分別是4和6,圓心距為7,則這兩圓的位置關係是( )
A.相交 B.外切 C.外離 D.內含
2.如圖,等腰梯形ABCD內接於半圓D,且AB=1,BC=2,則OA=( )
A. B. C. D.
3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4 cm,以點C為圓心,以2 cm的長為半徑作圓,則⊙C與AB的位置關係是( )
A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交
第2題 第3題 第5題
4.已知圓O1、圓O2的半徑不相等,圓O1的半徑長為3,若圓O2上的點A滿足AO1=3,則圓O1與圓O2的位置關係是( )
A.相交或相切 B.相切或相離 C.相交或內含 D.相切或內含
5.如圖所示,在圓O內有折線OABC,其中OA=8,AB=2,∠A=∠B=60°,則BC的長為( )
A.19 B.16 C.18 D.20
6.如圖,MN是半徑為0.5的⊙O的直徑,點A在⊙O上,∠AMN=30°,B為AN弧的中點,P是直徑MN上一動點,則PA+PB的最小值為( )
A. B. C.1 D.2
二、填空題
7.如圖,分別以A,B為圓心,線段AB的長為半徑的兩個圓相交於C,D兩點,則∠CAD的度數為_______.
8.如圖,現有圓心角為90°的一個扇形紙片,該扇形的半徑是50cm.小紅同學為了在聖誕節聯歡晚會上表演節目,她打算剪去部分扇形紙片後,利用剩下的紙片製作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊),那麼被剪去的扇形紙片的圓心角應該是________度.
第7題 第8題 第9題
9.如圖,AB⊥BC,AB=BC=2 cm,與關於點O中心對稱,則AB、BC、、所圍成的面積是________cm2.
10.如圖,以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,C為切點,若兩圓的半徑分別為3 cm和5 cm,則AB的長為________cm.
11.將半徑為4 cm的半圓圍成一個圓錐,在圓錐內接一個圓柱(如圖所示),當圓柱的側面的面積最大時,圓柱的底面半徑是________cm.
第10題 第11題 第12題
12.如圖,已知A、B兩點的座標分別為、(0,2),P是△AOB外接圓上的一點,且∠AOP=45°,則點P的座標為________.
三、解答題
13.已知:如圖,在△ABC中,D是AB邊上一點,圓O過D、B、C三點,∠DOC=2∠ACD=90°.
(1)求證:直線AC是圓O的切線;
(2)如果ÐACB=75°,圓O的半徑為2,求BD的長.
14.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,斜邊AC的垂直平分線交BC於點D,交AC於點E,連接BE.
(1)若BE是△DEC外接圓的切線,求∠C的大小;
(2)當AB=1,BC=2時,求△DEC外接圓的半徑.
15.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,FH是⊙O的切線,切點為F,FH∥BC,連接AF交BC於E,∠ABC的平分線BD交AF於D,連接BF.
(1)證明:AF平分∠BAC;
(2)證明:BF=FD;
(3)若EF=4,DE=3,求AD的長.
16. 如圖,已知:AC是⊙O的直徑,PA⊥AC,連接OP,弦CB∥OP,直線PB交直線AC於D,BD=2PA.
(1)證明:直線PB是⊙O的切線;
(2)探究線段PO與線段BC之間的數量關係,並加以證明;
(3)求sin∠OPA的值.
【答案與解析】
一、選擇題
1.【答案】A ;
【解析】因為6-4<7<6+4,所以兩圓相交.
2.【答案】A ;
【解析】作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分別是E,F,連接BD,
則AE=DF,∠ABD=90°,EF=BC=2,
設AE=x,則AD=2+2x.
由△ABE∽△ADB可得,
即,解得.
∴ AD=2+2x=1+,則.
3.【答案】B ;
【解析】如圖,過C作CD⊥AB於D,
在Rt△CBD中,BC=4cm,∠B=30°,
∴ CD=BC=(cm).
又⊙C的半徑為2cm,
∴ d=r.
∴ 直線AB與⊙C相似.
4.【答案】A ;
【解析】因為AO1=3,所以點A在圓O1上,又因為點A在圓O2上,
所以圓O1與圓O2的位置關係是相交或相切.
5.【答案】D ;
【解析】延長AO交BC於D點,過O作OE⊥BD於E.
∵ ∠A=∠B=60°,∴ ∠ADB=60°.
∴ △DAB是等邊三角形,BD=AB=12.
在Rt△ODE中,OD=12-8=4,∠ODE=60°,
∴ DE=OD·cos 60°=,∴ BE=10,故BC=2BE=2×10=20.
6.【答案】A;
【解析】過B作BB′⊥MN交⊙O於B′,連接AB′交MN於P,此時PA+PB=AB′最小.
連AO並延長交⊙O於C,連接CB′,在Rt△ACB′中,AC=1,∠C=,
∴ .
二、填空題
7.【答案】120°;
【解析】連接BC,BD,則△ABC與△ABD都是等邊三角形,故∠CAB=∠DAB=60°,
所以∠CAD=60°+60°=120°.
8.【答案】18 ;
【解析】設被剪去的扇形紙片的圓心角為θ度,
則由題意.
∴ θ=18.
9.【答案】2 ;
【解析】連接AC,因為與關於點O中心對稱,所以A,O,C三點共線,,
所以所求圓形的面積=△ABC的面積(cm2).
10.【答案】8 ;
【解析】連接OC,OA,則OC垂直平分AB,由勾股定理知,
所以AB=2AC=8.
11.【答案】1 ;
【解析】如圖是幾何體的軸截面,由題意得OD=OA=4,2πCD=4π,
∴ CD=2.
則.
設EF=x,EC=y,由△OEF∽△OCD得,
∴ .
∴ .
∴ 當x=1時,S有最大值.
12.【答案】;
【解析】在Rt△OAB中,.
∴ ∠ABO=60°.
連接AP,如圖.則∠APO=∠ABO=60°.
過A作AC⊥OP,如圖.在Rt△AOC中,由,
∠AOC=45°,可求出OC=AC=,在Rt△ACP中求出PC=.
∴ .
過P作PE⊥OA,在Rt△OPE中求出,
∴ .
三、解答題
13.【答案與解析】
(1)證明:∵ OD=OC,∠DOC=90°,
∴ ∠ODC=∠OCD=45°.
∵ ∠DOC=2∠ACD=90°,
∴ ∠ACD=45°.
∴ ∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°.
∵ 點C在⊙O上,
∴ 直線AC是⊙O的切線.
(2)解:∵ OD=OC=2,∠DOC=90°,
∴ .
∵ ∠ACB=75°,∠ACD=45°,
∴ ∠BCD=30°.
作DE⊥BC於點E,如圖.
∴ ∠DEC=90°,
∴ .
∵ ∠B=∠ACO=45°,∴ DB=DE=2.
14.【答案與解析】
(1)∵ DE垂直平分AC,∴ ∠DEC=90°.
∴ DC為△DEC外接圓的直徑.
∴ DC的中點O即為圓心.
連接OE,又知BE是⊙O的切線,
∴ ∠EBO+∠BOE=90°.
在Rt△ABC中,E是斜邊AC的中點,
∴ BE=EC.
∴ ∠EBC=∠C.
又∵ ∠BOE=2∠C,∴ ∠C+2∠C=90°.
∴ ∠C=30°.
(2)在Rt△ABC中,,
∴ .
∵ ∠ABC=∠DEC=90°,∴ △ABC∽△DEC.
∴ .∴ .
∴ △DEC外接圓的半徑為.
15.【答案與解析】
(1)證明:連接OF .
∵ FH是⊙O的切線,
∴ OF⊥FH.
∵ FH∥BC,
∴ OF垂直平分BC.
∴ .
∴ AF平分∠BAC.
(2)證明:由(1)及題設條件可知
∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2,
∴ ∠1+∠4=∠2+∠3.
∴ ∠1+∠4=∠5+∠3,即∠FDB=FBD.
∴ BF=FD.
(3)解:在△BFE和△AFB中,
∵ ∠5=∠2=∠1,∠F=∠F,
∴ △BFE∽△AFB.
∴ ,
∴ ,
∴ .
16.【答案與解析】
(1)證明:連接OB.
∵ BC∥OP,
∴ ∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB.
又∵ OC=OB,∴ ∠BCO=∠CBO.
∴ ∠POB=∠POA.
又∵ PO=PO,OB=OA,
∴ △POB≌△POA.
∴ ∠PBO=∠PAO=90°.
∴ PB是⊙O的切線.
(2)解:2PO=3BC.(寫PO=BC亦可)
證明:∵ △POB≌△POA,∴ PB=PA.
∵ BD=2PA,∴ BD=2PB.
∵ BC∥PO,∴ △DBC∽△DPO.
∴ ,
∴ 2PO=3BC.
(3)解:∵ △DBC∽△DPO,
∴ ,即,
∴ DC=2OC.
設OA=x,PA=y,則OD=3x,OB=x,BD=2y.
在Rt△OBD中,由勾股定理,得(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2.
∵ x>0,y>0,
∴ ,.
∴ .