观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的。著名科学家巴甫洛夫从长期的科学研究中总结出一条重要的经验就是"观察，观察，再观察"，充分肯定了观察在学习以及科研活动中的重要性。良好的观察能使学生全面、深入的理解学习内容，提高学习效率，取得优异成绩。因此，观察是人们获得知识提高认识的有效途径。
下图是世界上著名的莱布尼茨三角形，你能发现其中规律吗？
莱布尼茨（1646-1716），杰出的数学家、哲学家、法学家、历史学家，被称为德国百科全书式的天才。他在数学上最重要的贡献是创建微积分，预见到了"组合数学"，对二进制的发展做出了贡献。
莱布尼茨的著作：《中国近事——为了照亮我们这个时代的历史》,莱布尼茨有着深深的"中国情结"，他孜孜不倦地研究中国，阅读了几乎当时在欧洲出版的所有关于中国的书籍。1799年莱布尼茨出版了《中国近事——为了照亮我们这个时代的历史》一书，在前论中他写道："全人类最伟大的文化和最发达的文明汇集在大陆的两端，即欧洲和地球的东方——中国。"《易经》是中国文化的源头和核心，被称为"经典中的经典、学间中的学间、哲学中的哲学"，莱布尼茨研究《易经》并产生了突破性的惊奇发现，人们普遍认为二进制的思考和发表过程与此发现有关。
观察下面两幅图，你看到了什么？
图①是心理学中"鲁宾双关图形"，图②的画名为"我的妻子与我的岳母"。"横看成岭侧成峰"，启示我们调整观察的角度，从点到面，由局部到整体，多角度的观察和分析，会更加细致全面地认识事物。
数学活动中的观察常从以下两方面进行：
（1）数与式的特征观察；
（2）图形的结构观察。
例1.已知一数列的前3项依次为2，4，16，根据你的观察，请写出该数列的第4项，并写出你的判断理由。
解析：从指数的变化规律、前后相邻两项的联系观察切入。
数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求我们进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。
开放题的条件常常是不完备的，答案是不确定的且具有层次性，解决策略则具有非常规性、发散性和创新性。
变式1．（2019秋•成都期末）观察下列三行数：
第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……
第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，……
第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，……
（1）第一行数的第8个数为_____，第二行数的第8个数为_____；
（2）第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由；
（3）取每一行的第n个数，这三个数的和能否为﹣2558？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由．
【解析】：（1）∵第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……
第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，……
∴第一行的第n个数为：（﹣1）n+1•2n，第二行的第n个数为：（﹣1）n+1•2n+2，
∴第一行的第8个数为：（﹣1）8+1•28＝﹣1×256＝﹣256，第二行的第8个数是﹣256+2＝﹣254，故答案为：﹣256，﹣254；
（2）存在，
设第一行中连续的三个数为：x，﹣2x，4x，
x+（﹣2x）+4x＝384，解得，x＝128，
∴这三个数是128，﹣256，512，
即存在连续的三个数使得三个数的和是384；
（3）存在
∵第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……
第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，……
第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，……
变式2.（2019秋•温岭市校级期末）观察下面的三行单项式
变式1．（2020•安徽一模）观察以下等式：
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明．
【解析】：（1）通过观察不难知道等式右边都等于2，等式左边：第一个因式的分子为1，分母与等式序号数相等；第二个因数分子为2，分母是等式的序号数加1；第三个因数是等式序号数与序号数的平方之和．
例4.如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要______枚棋子，摆第n个图案需要_____枚棋子。
解析：列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想。
例4表明：从一个简单的基本图形开始，按照一定的规律，经过相同的程序逐渐演变成复杂而有趣的图形，不但从形象上来看，其线条自然流畅，形式新颖优美，而且其周长、面积、个数等都呈现出一定的规律性。对于例4，如图，变换视角，将原图分割为三角形、六边形、菱形、梯形等，会导出怎样的结论？
变式1．（2020•迁安市二模）"分块计数法"：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用"分块计数"的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图8、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以容易求出图8、图n中黑点的个数分别是 、 ．
请你参考以上"分块计数法"，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第6个点阵中有______个圆圈；第n个点阵中有_____个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于331吗？请求出是第几个点阵．
【解析】：图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以图8、图n中黑点的个数分别是48，6n；故答案为：48，6n；
（1）观察点阵可知：
第1个点阵中有1个圆圈；第2个点阵中有7个圆圈；7＝2×3×1+1；
第3个点阵中有19个圆圈；19＝3×3×2+1；第4个点阵中有37个圆圈；37＝4×3×3+1；
第6个点阵中有圆圈个数为：6×3×5+1＝91（个）；
发现规律：
答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．
变式2．（2020•安徽一模）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．
第（1）个图形中有1个正方形；
第（2）个图形有1+3＝4个小正方形；
第（3）个图形有1+3+5＝9个小正方形；
第（4）个图形有1+3+5+7＝16小正方形；……
（1）根据上面的发现我们可以猜想：1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝______（用含n的代数式表示）；
（2）请根据你的发现计算：①1+3+5+7+…+99；②101+103+105+…+199．
【解析】：（1）∵第（1）个图形中有1个正方形；
第（2）个图形有1+3＝4个小正方形；
第（3）个图形有1+3+5＝9个小正方形；
第（4）个图形有1+3+5+7＝16小正方形；……
日本数学教育家——米山国藏说过一句话："在学校学的数学知识，毕业后没什么机会去用，一两年后会很快忘掉。然而，不管他们从事什么工作，惟有深深铭记在心中的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终生。"我想这句话是对我们为什么学习数学最好的诠释。
爱因斯坦曾说："你能观察到眼前的什么现象，不仅取决于你的肉眼，还取决于你运用什么样的思维，思维决定了你能观察到什么。"观察思维，即观察选取的角度和方式。 会用数学的眼光观察世界并非一日之功，它需要长期的培养和训练。只有学以致用，才能让学生对学习的内容感兴趣，真正体现"学数学，用数学"的思想，找到数学与生活、社会的联系。
