奇妙の自然常數e
自然常數e 是一個奇妙的數字，這裡的e 並不僅僅代表一個字母，它還是一個數學中的無理常數，約等於2.718281828459。
但你是否有想過，它到底怎麼來的呢？為啥一個無理數卻被人們稱之為“自然常數”？
說到e，我們會很自然地想起另一個無理常數π 。π 的含義可以通過下圖中的內接與外切多邊形的邊長逼近來很形象的理解。
(圖片來源: betterexplained)
假設一個圓的直徑為1，其外切與內接多邊形的周長可以構成π 的估計值的取值範圍上下限，內接與外切多邊形的邊越多，取值範圍就越窄，只要邊數足夠多，取值範圍上下限就可以越來越逼近圓周率π 。
如果說π 的計算很直觀，那e 呢？所以在此也用一種圖解法來直觀理解e。
首先，我們需要知道e 這個表示自然底數的符號是由瑞士數學和物理學家Leonhard Euler(萊昂納德·歐拉)命名的，取的正是Euler的首字母“e ”。
Leonhard Euler (1707-1783)
(圖片來源: Wikipedia)
但實際上，第一個發現這個常數的，並非歐拉本人，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli）。
伯努利家族
伯努利家族是17〜18世紀瑞士的一個赫赫有名的家族，其中出了很多著名的數理科學家，雅可比·伯努利是約翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而約翰·伯努利則是歐拉的數學老師。總之，大佬們之間有著千絲萬縷的聯繫。
要了解e 的由來，一個最直觀的方法是引入一個經濟學名稱“複利(Compound Interest)”。
複利率法（英文：compound interest），是一種計算利息的方法。按照這種方法，利息除了會根據本金計算外，新得到的利息同樣可以生息，因此俗稱“利滾利”、“驢打滾”或“利疊利”。只要計算利息的週期越密，財富增長越快，而隨著年期越長，複利效應亦會越為明顯。—— 維基百科在引入“
複利模型”之前，先試著看看更基本的 “指數增長模型”。我們知道，大部分細菌是通過二分裂進行繁殖的，假設某種細菌1天會分裂一次，也就是一個增長週期為1天，如下圖，這意味著：每一天，細菌的總數量都是前一天的兩倍。
顯然，如果經過x 天（或者說，經過x 個增長週期）的分裂，就相當於翻了x 倍。在第x 天時，細菌總數將是初始數量的2x 倍。如果細菌的初始數量為1，那麼x 天后的細菌數量即為2x ：
如果假設初始數量為K，那麼x 天后的細菌數量則為K ·2x ：
因此，只要保證所有細菌一天分裂一次，不管初始數量是多少，最終數量都將是初始數量的2x 倍。因此也可以寫為：
上式含義是：第x 天時，細菌總數量是細菌初始數量的Q 倍。
如果將 “分裂”或“翻倍”換一種更文藝的說法，也可以說是：“增長率為100% ”。那我們可以將上式寫為：
當增長率不是100%，而是50%、25%之類的時候，則只需要將上式的100%換成想要的增長率即可。這樣就可以得到更加普適的公式：
這個公式的數學內涵是：一個增長週期內的增長率為r，在增長了x 個週期之後，總數量將為初始數量的Q 倍。
以上為指數增長的簡單實例，下面來看看雅可比·伯努利的發現：
假設你有1元錢存在銀行裡，此時發生了嚴重的通貨膨脹，銀行的利率飆到了100%（誇張一下，為了方便計算）。如果銀行一年付一次利息，自然在一年後你可以拿到1元的本金（藍色圓）和1元的利息（綠色圓），總共兩元的餘額。
(圖片來源: betterexplained)
現在銀行的年利率不變，但銀行為了招攬客戶，推出一項惠民政策，每半年就付一次利息。那麼到第六個月的時候，你就能夠提前從銀行拿到0.5元的利息了。
(圖片來源: betterexplained)
機智的你會馬上把這0.5元的利息再次存入銀行，這0.5元的利息也將在下一結算週期產生利息(紅色圓)，專業術語叫“複利”，那麼年底的存款餘額將等於2.25元。
(圖片來源: betterexplained)
此時，我們可以換個角度這樣看：即，每個結算（增長）週期為半年，每半年的利率是50%（或者說100%/2），一年結算兩次利息，且第一次結算完後，立馬將利息存入。此時我們的計算公式和結果如下：
繼續，假設現在銀行為了和其他銀行搶生意，短期不想賺錢了，每四個月就付一次利息！而機智的你依然一拿到利息就立馬存入，與半年結算一次利息類似：即，每個結算週期為四個月，每四個月的利率是33.33%（或者說100%/3），一年結算三次利息，且前兩次結算完後，都立馬將所有利息存入。
(圖片來源: betterexplained)
此時計算公式和結果如下：
我的天，年利率雖然沒有變，但隨著每年利息交付次數的增加，你年底能從銀行拿到的錢居然也在增加！
那麼是不是會一直增大到無窮大呢？想得倒美…
現在假設存款人和銀行都瘋了，銀行在保證年利率為100%的前提下連續不斷地付給存款人利息，存款人天天呆在銀行不走，拿到利息就往銀行裡存。這樣，所得利息即所謂“連續複利”。
但是，你會發現，似乎有一個“天花板”擋住了你企圖靠1塊錢瘋狂賺取1個億的小目標，這個“天花板”就是e ！
如果，我們進行一系列的迭代運算，我們將看到以下結果：
其中，n 指的是一年中結算利息的次數。
只要在年利率保持100%不變的情況下，不斷地提高利息的結算次數，餘額就將會逼近e =2.718281845…
然後，終於可以祭出這個高等數學微積分裡計算e 的一個重要極限了：
現在再回頭看這個重要極限，想必會有更加直觀的理解。
也就是說，就算銀行的年利率是100%，再怎麼求銀行給你“複利”，年底也不可能得到超過本金e 倍的餘額。況且，我是沒見過哪個銀行的年利率是100%。
雖然正常的銀行不會推出連續複利這種優惠政策，但在自然界中，大多數事物都處在一種“無意識的連續增長”狀態中。對於一個連續增長的事物，如果單位時間的增長率為100%，那麼經過一個單位時間後，其將變成原來的e 倍。生物的生長與繁殖，就也類似於“利滾利”的過程。
再比如，在等角螺線中：
等角螺線
(圖片來源: Wikipedia)
如果用極座標表示，其通用數學表達式為：
其中，a、b 為係數，r 螺線上的點到座標原點的距離，θ 為轉角。這正是一個以自然常數e 為底的指數函數。
例如，鸚鵡螺外殼切面就呈現優美的等角螺線：
鸚鵡螺外殼
(圖片來源: Wikipedia)
熱帶低氣壓的外觀也像等角螺線：
熱帶低氣壓
(圖片來源: Wikipedia)
就連旋渦星系的旋臂都像等角螺線：
旋渦星系
(圖片來源: Wikipedia)
或許這也是e 被稱為“自然常數”的原因吧。當然，自然常數e 的奇妙之處還遠不止這些，一本書都寫不完。
