我們從線性代數在開始第1部分和第2部分。我們瞭解了向量和矩陣，以及它們如何在機器學習中提供幫助。讓我們從剩下的地方開始討論，並涵蓋機器學習數學第3部分中有關矩陣的一些剩餘詳細信息。
逆矩陣：
我們將從該系列的前2部分討論的問題開始機器學習數學的第3部分。蘋果和香蕉的問題，最終將設法找到解決方案。
假設我第一次去商店時花8元買了2個蘋果和1個香蕉。在另一次訪問中，我以13元買了10個蘋果和1個香蕉。
我們將其記為矩陣乘以向量。我們將矩陣稱為A，將輸入向量稱為r，將輸出向量稱為S。
現在，考慮矩陣A -1。當我們將此矩陣與原始矩陣A相乘時，它將得到一個單位矩陣。這是矩陣A的逆。A -1顛倒A並給出一個單位矩陣。
因此，如果我們得到矩陣的逆，我們可以得到向量a，b的值，最後解決香蕉和蘋果問題。
現在，讓我們繼續學習身份矩陣。
我們實際上可以通過替代解決此問題。請看下面的例子。
這表明c = 2。另外，請注意，現在我們得到了一個特殊的矩陣，該矩陣的所有零均位於對角線以下。從這裡開始，我們可以採用替代方法來進一步解決我們的問題。
現在，從上面兩行中減去第3行，即c值。第一行取c的3倍，第二行取c的一個。
我們終於得到了解決方案。1個蘋果5元，1個香蕉4元和1個胡蘿蔔2元。
因此，我們從消除開始，然後進行反向替換以得到解決方案。
這裡要注意的一件事是，我們實際上已經將矩陣最後更改為一個單位矩陣，以得到解。這使我們回到開始討論的矩陣逆矩陣。
讓我們找出如何找到任何矩陣的廣義解，以及如何將消除應用於通過矩陣逆求解問題。
考慮，我們有一個3×3矩陣A，它是逆B，它們相乘在一起就得到一個恆等矩陣I。
現在，將矩陣A與矩陣B的第一列相乘將得出恆等矩陣的第一列或向量。類似地，矩陣A與B的第二矢量或列的相乘將得到單位矩陣的第二列，B與A的第三列相乘將得到單位矩陣的第三列。
現在，嘗試立即執行此操作！通過在矩陣的第二行和第三行取第一行。
這將給出：
如您所見，我們已經將A修改為單位矩陣（僅通過消除和反向替換），而我實際上是A -1的答案。或矩陣B。
因此，我們得出結論，將A乘以A逆將得到一個恆等矩陣。
您可能之前已經以其他方式做到了。但是在這裡，我們以一種通用且計算速度更快的方式解決了它。特別是如果我們要處理更大的尺寸。廣義上來說，它不取決於右側的矩陣。
行列式和倒數：
現在，讓我們看看稱為行列式的矩陣的屬性。
考慮矩陣
我們所做的是，已將軸水平縮放為因子a，垂直縮放為因子d。正方形多少會縮放為矩形。實際上，所有空間都按因子廣告縮放。我們可以說這是變換矩陣的行列式。如果我們採用另一個矩陣
現在，正方形變為平行四邊形，但是比例因子仍然是ad。平行四邊形的面積。基數乘以高度。
如果我們有一個通用矩陣，
現在讓我們找到此平行四邊形的面積。參見下圖。驗證是否喜歡，但區域為ad-bc。
以前，您可能像這樣計算矩陣的逆：
這告訴我們，將A與A的逆數相乘得到一個單位矩陣。因此，您一直做對了！
因此，行列式是我們需要將逆矩陣除以什麼，以使逆矩陣正確地成為逆矩陣。
現在，我們如何計算矩陣的這些行列式值？如今，我們實際上不需要學習計算步驟。MATLAB和Python庫將為您完成此任務。但是，如果您真的想學習，則可以考慮QR分解。
繼續看下面的矩陣，
它們沿著同一條線延伸，實際上是彼此的倍數，不是線性獨立的。同樣，它將給出行列式為0，| A |=0。3×3向量也是如此，其中新的基本向量是其他兩個的倍數。封閉或行列式的面積將再次為0。
現在，讓我們繼續講Val Echelon form。考慮下面的一組聯立方程，
我們可以在這裡看到第3行實際上是row1和row2的總和。同樣，第3列是第1列+第2列的兩倍。這意味著此轉換向量沒有描述3個獨立向量。一個是線性獨立於其他兩個。因此，它描述了二維空間。現在讓我們看看如果嘗試將其簡化為Val梯形形式會發生什麼。從第二行取第一行，從第三行取第一行和第二行的和。
這使c等於0。表明我們沒有太多信息來求解聯立方程。
我們已經證明的是，如果描述矩陣的基向量不是線性獨立的，則行列式為0。這還表明，如果我們摺疊空間的尺寸，則將付出一定的代價。在這裡，我們無法找到逆，實際上可以使我們撤消變換矩陣並將其引向原始向量。
因此，事先檢查我們提議作為矩陣變換的新基礎向量的向量是線性獨立的，以便稍後可以撤消變換。
到目前為止，我們已經瞭解了什麼是決定因素以及它如何增長空間。同樣，我們已經看到行列式為0的特殊情況，這意味著基向量不是線性獨立的，這又意味著不存在逆。
愛因斯坦求和矩陣：
寫矩陣變換的另一種方法是愛因斯坦求和矩陣。它記錄了矩陣各組成部分的實際操作，對編碼工作很有用。
我們知道矩陣乘法如下。考慮一個nxn階的矩陣A與另一個nxn階的矩陣B相乘得到矩陣AB：
這使我們的編碼更加容易。只需運行三個循環並累積即可獲得AB。T在計算上很有效，但不是很直觀。
因此，只要矩陣在j中具有相同數量的條目，我們就可以將它們相乘。
3 x 3矩陣乘以3 x 4矩陣。通常所有非方陣。
現在，讓我們根據愛因斯坦求和法重新討論點積。
如果我們有兩個列向量u和v。
讓我們詳細看一下點積和矩陣乘法之間的等價關係。
讓我們看看點乘積e1和u會發生什麼。那是u在e1上的投影。然後e1在u上的投影。然後我們可以有趣地通過投影相交處的對稱線。這種對稱性表明u在e1上的投影與e1在u1上的投影相同。這可以在點積中看到。將u與e1乘以點或將其翻轉將給出相同的答案。現在從幾何上看，為什麼。
對於其他軸e2或任何其他軸也可以證明這一點。因此，點積就像投影一樣對稱，這就是矩陣乘法和投影之間的聯繫。
正交矩陣：
首先讓我們介紹矩陣轉置的概念。為了換位，我們互換矩陣的所有行和列。
A t ij = A ji
考慮尺寸為n×n的方陣A。它定義了一個變換矩陣，其中基礎向量彼此正交併且具有單位長度。
如果i不等於j，ai.aj = 0
如果i等於j，ai.aj = 1
讓我們看看如果將矩陣A與其轉置相乘會發生什麼。
我們得到一個身份矩陣！
A t A =我
這意味著A轉置是矩陣A的有效逆。
相互垂直的一組單位長度向量稱為正交基集。由它們組成的矩陣是正交矩陣。
這也意味著，由於正交矩陣由單位長度的基礎向量組成，因此它會按比例縮放空間。然後行列式為1或-1。向量反轉或翻轉時為-1。
在數據科學中，當我們要轉換數據時，將盡可能使用正交向量的基礎向量。那就是我們的變換矩陣將是正交的。反過來，這意味著逆計算很容易。逆向轉換很容易，因為它不會使空間崩潰。投影僅僅是點積。行列式是1或減1。很多事情都整齊又簡單。因此，從轉置開始，我們發現了最方便的基礎向量集，它是形成正交矩陣的正交基礎向量集！
Gram-Schmidt過程：
讓我們繼續學習機器學習數學第3部分，瞭解如何構建和使用正交基向量集。
假設我們有一個跨越空間的線性獨立向量。
假設我們有一組向量v跨越我們的空間。
v = {v1，v2，v3，…，vn}
取第一個向量並將其標準化，這樣我們的第一個基本向量e為
因此，e1只是v1的規範化版本。
對於v2，我們可以看到v2在e1方向上具有一個分量。因此，如果我們在e1上投影v2，我們將得到，
V2 =（v2.e1）e1 + u2
要麼，
u2 = v2 –（v2.e1）e1
規範化u2將給
那是計算正交基礎的第一部分。
現在，第三個向量v3不是v1和v2的線性組合，並且不在向量v1和v2定義的平面內。
我們可以將v3向下投影到e2和e1的平面中。該投影將是由e1和e2組成的平面中的某些矢量。
u3 = v3 –（v3.e1）e1 –（v3.e2）e2
其中（v3.e1）e1是由e1s構成的v3的組件，而（v3.e2）e2是由e2s構成的v3的組件。
u3是另一個垂直於飛機的人。對u3進行歸一化，
我們可以繼續這樣做，直到我們計算出跨越空間的所有正交基向量。
通過這種方式，w將非正交，非單位向量轉換為單位長度好的正交向量的集合，從而形成了一組正交法向量。
這就是我們構造正交基向量集並使生活更輕鬆的方式！
應用：
現在，讓我們將在機器學習數學第3部分中獲得的知識放到一個示例中，看看它是否真的使我們的生活更輕鬆。
我們要做的是反射一架飛機。如果我們在一些不同的平面上進行反射，矢量就是這樣。換句話說，如果鏡子以某種滑稽的角度出現，貓在鏡子中的反射對我來說會是什麼樣子。
假設我在鏡面上知道2個向量。第三個向量在鏡平面之外。
現在，定義新的轉換矩陣E
現在考慮一個向量r，我們想要通過正交向量的平面向下反射到r'。
這裡有趣的是向量r將由一些向量e1和與其垂直的一些向量e3組成。向下的位只是e3的負數。
以e為底的轉換矩陣將由e1，e2和e3的負數組成，
這是在平面上的反射。
因此，如果我們在平面的基礎向量中獲得了這裡為基礎E的向量，則可以進行反射。然後，我們可以將其放回基本向量集中，以獲得完整的變換。
將r轉換為r'實際上遵循以下步驟
這將我們的問題簡化為矩陣乘法。我們將所有值都進行計算！
您可以在這裡看到，一旦考慮了反射鏡的平面和垂直於反射鏡的平面，就很難通過三角函數解決一個問題。
總結一下，我們看到了關於向量和矩陣的所有有趣的應用，它們反映了空間中的一個點。
我們可以找到它在神經網絡中的直接應用，在神經網絡中，我們可能希望對面部識別進行一些思考，
