16．約數與倍數
約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
最大公約數的性質：
1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。
2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。
3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。
4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以m。
例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；
18的約數有：1、2、3、6、9、18；
那麼12和18的公約數有：1、2、3、6；
那麼12和18最大的公約數是：6，記作（12，18）=6；
求最大公約數基本方法：
1、分解質因數法：先分解質因數，然後把相同的因數連乘起來。
2、短除法：先找公有的約數，然後相乘。
3、輾轉相除法：每一次都用除數和餘數相除，能夠整除的那個餘數，就是所求的最大公約數。
公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
12的倍數有：12、24、36、48……；
18的倍數有：18、36、54、72……；
那麼12和18的公倍數有：36、72、108……；
那麼12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36；
最小公倍數的性質：
1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。
2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積。
求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法
17．數的整除
一、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有餘數，那麼叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；
二、整除判斷方法：
1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的2倍後能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。
③逐次去掉最後一位數字並減去末位數字後能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的9倍後能被13整除。
三、整除的性質：
1. 如果a、b能被c整除，那麼（a+b）與（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整數，那麼a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那麼a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。
18．餘數及其應用
基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0 餘數的性質： ①餘數小於除數。 ②若a、b除以c的餘數相同，則c|a-b或c|b-a。 ③a與b的和除以c的餘數等於a除以c的餘數加上b除以c的餘數的和除以c的餘數。 ④a與b的積除以c的餘數等於a除以c的餘數與b除以c的餘數的積除以c的餘數。 19．餘數、同餘與週期 一、同餘的定義： ①若兩個整數a、b除以m的餘數相同，則稱a、b對於模m同餘。 ②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對於模m同餘，記作a≡b(mod m)，讀作a同餘於b模m。 二、同餘的性質： ①自身性：a≡a(mod m)； ②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)； ③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)； ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)； ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)； ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c)； 三、關於乘方的預備知識： ①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b ②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除後的餘數特徵： ①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)； 五、費爾馬小定理：如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。 20．分數與百分數的應用 基本概念與性質： 分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。 分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。 分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。 百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。 常用方法： ①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。 ②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所佔的率的直接對應關係。 ③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關係；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。 ④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然後再進行調整，求出最後結果。 ⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。 ⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關係單一化、量率關係明朗化。 ⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。 ⑧濃度配比法：一般應用於總量和分量都發生變化的狀況。
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