質數（也叫素數）是除了1和它本身之外沒有其他因數的自然數。 它們是所有整數中特殊又孤獨的存在, 而它的孤獨不單單是與其他合數的格格不入， 更甚的是孿生質數之間相互吸引,卻無法真正靠近的那種孤獨。
開啟質數之旅
質數，可以說是數學領域中最龐大、最古老的數據集，數學家們歷經 2300 年的努力一直在不斷探索它的奧秘。那麼是什麼吸引無數傑出的數學家，數千年來前仆後繼地投身於素數研究中?
古希臘數學家歐幾里得、"數學英雄"歐拉、"業餘數學家之王"費馬、"數學王子"高斯……都曾痴迷於質數的無窮魅力。
費馬猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想、孿生質數猜想等印證著人們探索質數神秘表象背後潛藏的奧秘的堅持和尋找通往未知道路的努力。質數神出鬼沒，分佈得極不規則，而且無窮無盡，怎樣從自然數中把質數找出來？
公元前 200 左右，古希臘數學家埃拉託斯特尼(Eratosthenes)提出了素數的快速篩選法，這是一種簡單且歷史久遠的篩法，用來找出一定範圍內所有的素數。
用於求一定範圍內的質數.
步驟如下：
（1）先把1刪除；
（2）讀取數列中當前最小的數2，再把2的倍數刪除；（3）讀取數列中當前最小的數3，再把3的倍數刪除；（4）依次進行下去，直到把所求範圍內的數均讀取完，這種造質數表的方法被稱為"埃拉托色尼篩選法"。
在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數設計成素數，以增加兩個齒輪內兩個相同的齒相遇齧合次數的最小公倍數(即是這兩個齒輪齒數的乘積，兩個素數的最小公倍數就是它們的乘積)，這可以防止有的齒經常和另一個齒輪的某一齒單一接觸(特別是當這個齒設計有一些小的缺陷時，任何機械工程都是有一些小誤差的)，可增強耐用度、減少故障。
大家熟知的知了，學名叫做蟬，在自然界進化出了非常特別的繁殖週期，目前發現的有13年蟬、17年蟬等(讀者可以看參考文獻瞭解更多細節)，也就是它們的幼蟲需要在地底下分別生活13年、17年才能破土而出，蟬出土後的生命一般只有2個月左右，為了綻放兩個月的生命，它們需要在毫無光亮的地底下生活13年、17年，生命是多麼的神奇和偉大啊！
13年蟬、17年蟬之所以進化出這種奇特的繁殖週期，是為了逃避天敵的侵害並安全延續種群，因而演化出一個漫長而隱秘的素數生命週期(13、17都是素數)。當蟬的繁殖週期是13、17年時，蟬與它的天敵繁殖週期碰到一起就需要經過它們繁殖週期的乘積這麼多年，而如果他們的繁殖週期碰到一起的話，天敵的幼蟲就會以蟬的幼蟲為食，對蟬的種群延續是很不利的。蟬進化出這麼奇怪的繁殖週期就是為了避免天敵的傷害，這裡我們進一步看到了生物進化的魅力。
除了蟬以外，在害蟲的生物生長週期與殺蟲劑使用之間的關係上，殺蟲劑的質數次使用的有效性也得到了科學的證明：實驗表明，質數次數地使用殺蟲劑是最合理的，並且需要在害蟲繁殖的高潮期使用，這樣害蟲很難產生抗藥性。這樣使用主要是為了將相鄰批次的繁殖期的害蟲都被殺蟲劑殺掉，避免了不同次代的害蟲之間的交配繁殖。
有本書叫《質數的孤獨》，是一個意大利著名作家保羅•喬爾達諾寫的。這是一本關於童年經歷、愛與孤獨的小說小說的男女主人公就像兩個孿生質數，彼此相近卻永遠無法靠近，該書有力地表現了人性的孤獨，並深刻剖析了造成這種孤獨的原因.
我最開始看書的題目時看成了孤獨的質數。大概是我主觀上已經認定了質數註定是孤獨的。在數學裡，把相差為2的兩個質數叫做"孿生質數"。孿生質數並不少見，3和5,5和7,11和13……它們相似相近卻永遠無法在一起，中間永遠夾著一個數字，真是數字界的一個愛情悲劇。
2018 年 3 月 20 日挪威科學與文學院宣佈，將 2018 年度阿貝爾獎授予美籍加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲(Robert Langlands)，以表彰他在數學領域所作出的終身成就。他提出的最終以他名字命名的數學理論"朗蘭茲綱領"(Langlands program)，通過與素數的共同聯繫將幾何學、代數學和分析學等概念結合起來，在數學的眾多分支領域之間架起了"橋樑"。
探尋經典問題
例1. （《時代學習報》數學文化節試題）菲爾茲獎被譽為"數學界的諾貝爾獎"，只獎勵40歲以下的數學家.華人數學家丘成桐、陶哲軒分別於1982年、2006年榮獲此獎.我們知道正整數中有無窮多個質數（素數），陶哲軒等證明了這樣一個關於質數分佈的奇妙定理：對任何正整數k，存在無窮多組含有k個等間隔質數（素數）的數組.例如當k=3時，3，5，7是間隔為2的3個質數；5，11，17是間隔為6的3個質數；而____，______，_______是間隔為12的3個質數.（由小到大排列，只寫一組3個質數即可）
解析：從簡單的質數入手，可寫兩組：5，17，29或29，41，53.
與本例相關的著名李生質數猜想：是否存在無限多個質數P，使得P+2也是質數？如3，5；5，7；11，13；17，19；…
陶哲軒，2008年11月20日美國《探索》雜誌上，20位40歲以下的科學家被冠以"最具智慧的頭腦"稱號，華裔澳大利亞人陶哲軒名列第一.13歲獲得國際數學奧林匹克競賽的金牌，24歲被評為終身教授，2006年獲得菲爾茲獎，時年31歲。廣泛的興趣、豐富的知識儲備、深刻的洞察力以及能敏銳地發現那些陌生的問題同自己最擅長領域的本質關係，是他最大的特色。
例2證明：質數有無窮多個。
公元前 300 年，亞歷山大里亞的數學家歐幾里得（公元前330年一公元前275年）描述到："素數是隻能用 1 來計數的數。"這意味著素數不能被除了 1 以外的任何小於自身的數整除。並且為了保證整數的唯一分解，數學家們並不把 1 看作素數。
家歐幾里得在其不朽名著《幾何原本》中彙總了幾何學及數論，並證明了"質數有無窮多個"
歐幾里得認為：假設質數是有限的，只有P₁，P₂…，Pｎ，這n個，那麼，其餘所有自然數都是這n個質數的乘積，都為合數，即其他的所有自然數都能被P₁或P₂，.…或Pｎ整除.
但P₁·P₂·P₃．．．Pｎ+1無法被P₁或P₂…或Pｎ，整除，與上述假設矛盾。
故原假設不成立，從而證明了質數有無窮多個。
馬林·梅森（1588-1648），法國天主教會修道士，在哲學、數學等領域造詣頗深，曾與費馬、伽利略、帕斯卡、笛卡爾等人頻繁通信交流，交往廣泛的梅森成為歐洲科學家之間的橋樑和"信息交換站"．
梅森素數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑；它的探究推動了數學皇后——數論的研究，促進了計算技術、程序設計技術、密碼技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。
探尋梅森素數最新的意義是：它促進了網格技術的發展。而網格技術將是一項應用非常廣闊、前景十分誘人的技術。另外，探尋梅森素數的方法還可用來測試計算機硬件運算是否正確。
例4（北京大學自主招生試題）最多能找到多少個兩兩不相等的正整數，使其中任意三個數的和為質數？說明你的理由.
解析：因要求使其中任意三個數的和都是質數，故可將正整數按模3分類：3k，3k+1，3k+2，k為正整數，由此展開討論。
若三類數各取一個：3a，3b+1，3c+2，則3a+3b+1+3c+2=3（a+b+c+1），這三個數的和不是質數，故三類數中至多可以取到兩類。
另外，若某一類數3k+i（i=0，1，2）至少取到3個：30+i，3b+i，3c+（i=
0，1，2），則3a+i+3b+i+3c+i=3（a+b+c+i）（i=0，1，2），這三個數的和不是質數，故每類數中至多隻能取2個.
綜上所述，至多有2×2=4個兩兩不等的正整數，使得任意三個數的和都是質數，例如1，3，7，9.
質數為何與眾不同？為什麼要研究質數？
尋找最大質數，猶如物理學家尋找更小的基本粒子，天文學家在不斷追尋不為人知的星體.這種單純為滿足求知慾的好奇心，正是人類突破知識領域的動力。今天，人們已認識到：互聯網交易的安全性（強大的密碼系統）是建立在"分解出大整數的約數（質數）是極其困難的問題"這一基礎上的。
素數是人類追尋知識過程中最無奈的謎題，怎樣才能預測下一個素數？有何公式可以生成素數？在素數表面的噪音之下潛藏著意料之外的和諧.1859年，德國數學家黎曼提出一個關於這首"神秘樂曲"的大膽預言，這個預言的答案將在電子商務、量子力學和計算機科學等領城產生革命性的影響。
2013年4月17日，張益唐在《數學年刊》上投稿證明了"存在無數多個質數對（p，g），其中每一對中的質數之差，即p和g的距離不超過七千萬"
令人遺憾的是，儘管人類早在2500多年前就發現了質數，但時至今日仍未能完全揭開籠罩在質數上的神秘面紗.歐拉曾感嘆："世界上有許多人類智慧無法解釋的奧秘，看一眼質數表就會發現，它是如此毫無秩序，毫無規則可言。"
張益唐，1955年生於上海，1978年考入北京大學數學系。
他的證明在推動解決孿生素數猜想的道路上邁出了一大步，分別獲得瑞典2014年度羅夫·肖克獎、美國麥克阿瑟天才獎。"我的心很平靜，我不大關心金錢和榮譽，我喜歡靜下來做自己想做的事情。"
體驗質數魅力
1．（武侯區校級自主招生）設合數k滿足1＜k＜100，若k的數字和為質數，就稱合數k為"山寨質數"，則這種"山寨質數"的個數是_____個．
【解析】分別從質數的定義分析進而分別得出和為質數的山寨質數．
用S（K）表示k的數字和；而M（p）表示山寨為質數p的合數的集合．
當k≤99時，S（k）≤18，不大於18的質數共有7個，它們是：2，3，5，7，11，13，17，
山寨為2的合數有M（2）＝{20}，而M（3）＝{12，21，30}，
M（5）＝{14，32，50}，M（7）＝{16，25，34，52，70}；
M（11）＝{38，56，65，74，92}，M（13）＝{49，58，76，85，94}，M（17）＝{98}，共得23個山寨質數．故答案為：23．
變式1．已知三個合數A、B、C兩兩互質，且A×B×C＝11011×28，那麼A+B+C的最大值為_____．
【解析】：因為11011×28＝（11×11×13×7）×（2×2×7）＝（11×11×13）×（7×7）×（2×2），
要使A+B+C最大，且A、B、C為兩兩互質的合數，則A＝11×11×13＝1573，B＝7×7＝49，C＝2×2＝4，那麼A+B+C＝1626．故答案為：1626．
變式2．規定：a⊕b＝a2+b，a⊗b＝（a+b）（a﹣b），若m是最小的質數，n是大於100的最小的合數，則m⊗（m﹣n）＝____, m⊕（m⊗n）＝_____．
【解析】由於m是最小的質數，n是大於100的最小的合數，由此得到m＝2，n＝102，然後分別代入兩個計算的式子根據定義的運算法則計算即可求解．
∵m是最小的質數，n是大於100的最小的合數，∴m＝2，n＝102，
∴m⊗（m﹣n）＝2⊗（2﹣102）＝﹣9996，
m⊕（m⊗n）＝2⊕[（2+102）（2﹣102）]＝2⊕（﹣9996）＝4+（﹣10400 ）＝﹣10396．
故答案為：﹣9996，﹣10396．
變式3．（蚌埠校級自主招生）已知質數x，y，z滿足19x﹣yz＝57，則x+y+z＝_____．
【解析】：∵yz＝19x﹣57＝19（x﹣3），
∴右邊是19的倍數，所以y和z中有一個是19，
設z＝19，∴y＝x﹣3，∴x﹣y＝3，
∵相減是奇數，所以x和y一奇一偶，
∵偶質數只有2，所以y＝2，x＝5，所以x+y+z＝26．
【點評】此題比較複雜，考查的是質數與合數的概念．如果一個數的因數除了1和它本身無其它，這樣的數叫質數；如果一個數的因數除了1和它本身還有其它，這樣的數叫合數．
變式4．若三個質數x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，則x+y+z的值是___或___．
【解析】：∵三個質數x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，
∴x，y，z中必有一個是11，令x＝11，
則11yz＝11（11+y+z），即：y（z﹣1）＝11+z，
∴y＝1+ 12/(z-1)，
∵y是質數，∴z﹣1＝1或2或3或4，
∴z＝2或3或4或5，
∵z是質數，∴z＝4不符合題意，捨去，
當z＝2時，y＝13，
∴x+y+z＝11+13+2＝26，
當z＝3時，y＝7，
∴x+y+z＝11+7+3＝21，
當z＝5時，y＝4，y不是質數，捨去，
即：x+y+z的值是21或26，故答案為：21，26．
∴p＝2，則q＝13，
此時p+3＝5，1﹣p+q＝12，2p+q﹣4＝13，
∵5²+12²＝13²，∴5、12、13為邊長的三角形為直角三角形．故選：B．
變式1．已知n是整數，且|n²+2n﹣224|是質數，則n＝______．
【解析】先把n²+2n﹣224分解成兩個因式積的形式，再根據n是正整數及質數的定義求出n的值即可．
當n+16＝1，n＝﹣15，則n﹣14＝﹣29；
當n+16＝﹣1，n＝﹣17，則n﹣14＝﹣31；
當n﹣14＝1，n＝15，則n+16＝31；
當n﹣14＝﹣1，n＝13，則n+16＝29；
∴n＝﹣15或﹣17或15或13．
故答案為：﹣15或﹣17或15或13．
3．求證：存在無窮多個自然數k，使得n4+k不是質數．
當a≥2時，這是兩個大於1的自然數的乘積，因為a有無窮多個，所以k也有無窮多個．
即存在無窮多個自然數k，使得n4+k不是質數．
4．（2019春•南岸區校級期中）材料：一個大於1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做素數（也稱為質數），否則稱為合數．其中，1和0既不是質數也不是合數，最小的素數是2．數學家歐幾里得在《幾何原本》中對此進行過詳細論述下面我們來了解兩種特殊的素數：
①如果兩個素數之間相差2．則稱為"孿生素數"．例如3和5，5和7，11和13等都是孿生素數．
②29391這個數具有相當迷人的性質，不只是因為它是素數，還因為把最末位數字依序"截尾"後，餘下的數仍是素數．如：29391，2939，293，29，2．具有這樣性質的數叫"截尾素數"．
請用以上材料解決下列問題；
（1）請直接寫出在20～100的自然數中，所有的由兩個"截尾素數"組成的"孿生素數"；
（2）如果三個素數的乘積恰好等於它們和的23倍，求這三個素數．
【解析】：（1）在20～100的自然數中，所有的由兩個"截尾素數"組成的"孿生素數"有：29和31，71和73；
（2）設三個素數為a、b、c，則abc＝23（a+b+c），
可設a＝23，b≥c，則bc＝23+b+c，變形得bc﹣b﹣c+1＝24，
∴b（c﹣1）﹣（c﹣1）＝24，
∴（b﹣1）（c﹣1）＝24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，
解得符合條件的b＝13，c＝3或b＝7，c＝5．
故這三個素數是23，13，3或23，7，5．
【點評】本題考查了質數與合數，"截尾素數"和"孿生素數"，正確理解素數的意義並列出方程組是解題的關鍵．
5.埃拉托色尼篩選法是世界上最古老的一種求質數的方法.在以後的幾千年中，數學家又發明了一些找質數的方法.1934年，也就是埃拉托色尼篩選法問世兩千多年後，一位年輕的印度學生辛答拉姆創造瞭如圖所示的一個數表。這種找質數的方法被稱為"辛答拉姆篩法"。
你能發現其中質數的排列規律嗎？
解析：顯然，第一行（最上邊一行）和第一列（最左邊一列）中的數是相同的，在這一行（列）中，從第2個數起，每一個數與前面相鄰的一個數相差3，例如7-4=10-7=13-10=16-13=…=3；第二行（列）中，從第2個數起，每一個數與前面相鄰的一個數相差5；第三行（列）相差7；第四行（列）相差9；第五行（列）相差11.
在這個數表中，隨便找一個自然數M，那麼2M+1一定不是質數.例如，M=
4，2M+1=2×4+1=9，9不是質數；M=17，2×17+1=35，35也不是質數.而這個數表中沒有的自然數M，則2M+1一定是質數.比如，M=5不在數表中，2×5+1=11，11是質數，M=8，2×8+1=17，17也是質數
6. （青少年國際城市邀請賽試題）若一個質數的各位數碼經任意排列後仍然是質數，則稱它是一個"絕對質數"。
例如2，3，5，7，11，13（31），17（71），37（73），79（97），113（131，311），199（919，991），337（373，733）…都是絕對質數.求證：絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼1，3，7與9.
解析：正難則反。假設一個絕對質數同時含有數字1，3，7，9，由此導出矛盾，這是解題的關鍵，一個絕對質數如果同時含有數字1，3，7，9，則在這個質數的十進制表示中，不可能含有數字0，2，4，5，6，8，否則，通過適當排列後，這個數能被2或5整除。設N是一個同時含有數字1，3，7，9的絕對質數.
其中一定有一個能被7整除，這個數就不是質數，矛盾.
故原假設不成立，即絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼1，3，7，9.
質數也好，合數也罷，反正都是自然數。其實合數也挺不容易的，即使是相鄰的兩個數字，距離再近，總是有先後吧，看似好像緊緊地貼在了一起，但是你就是你，獨一無二，既與眾不同，又孤獨無依。將數學和哲學實現完美結合的古希臘人，視數學為哲學之起點，我不懂當前學問高深的數學，但是，雙手贊同數學本來的含義：即學習、學問、科學之意。然而今天，數學已經成為一門抽象的學科，數學孤獨了，一門學科尚且如此，更何況一個質數呢？所以孤獨是註定的。
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