無論是喜歡數學，還是不喜歡數學的讀者，都對π有一定的瞭解，也對“無限”略知一二。麥教授想分享的，是由π到無限的思維升級。本文不重概念，更考究邏輯思維的躍升。
這也不是一篇關於數學的文章，卻不失數學之美，而數學上的思考，到最後其實是哲學。當年我在麻省理工學院讀博時，數學日和π在學校裡非常受歡迎。很多科普文章講 π ，我更想從 π 開始講 “無限”。
有人說 ，π 裡面包含了任何可能想到的固定長度的數字。這種說法可以用電腦驗證，任何6位數的密碼或11位的電話號碼，都可以在 π 裡面找到。
目前，我們已經知道了 π 的前22萬億位，只要在前1千4百多萬位裡，就可以找到所有的6位數字組合。例如，像“520520”這種，或者是我們喜歡的人的6位數字生日。
01
始於“無限不循環”的概念
知道π、根號，和自然對數e的時候，可能是我們最早接觸到“無限不循環”這個概念的時間點。當我們知道有些數是無窮無盡的，是根本寫不完的時候，我幼小的心靈受到了巨大的震撼。
——為了寫這個數，可以要求地球上所有的人一起努力。我們不吃，不喝，不睡覺，從生下來一直寫到死，即便“子子孫孫無窮匱也”，也永遠都寫不完。
那時，小小的我，領悟到一個道理：有時候不管怎麼努力都是沒有用的。
我最近看一本書時才知道，有個關於 π 的真理。三位數學家在1995年發現了一個公式，叫做Bailey–Borwein–Plouffe formula。
它的厲害之處，是可以計算 π 的第 n 位二進制數 （或者16進制數，有個算法叫Spigot algorithm）。
這很讓人震驚。因為之前所有的計算圓周率的方法，都是一位一位地逼近，不知道前面的數字，就沒法知道後面的。
正如所有厲害的武功路數一樣，這個算法有弱點，當n很大的時候，計算就慢下來，其實還是沒法計算到任意位。這讓我們認識到一件事：天下有好吃的午餐，但是沒有免費的午餐。
如圖，這個表格是計算機發明之前計算出來的π 的位數，中國人劉徽和祖沖之都做出了早期的貢獻。
02
無窮大的“無限”
人類看到的和感知到的，沒有一樣東西是無限的。有些東西換成數字，可以很大，如這個世界存在的時間，又如宇宙中原子的數目。
但這些都是可以被計算出來，物理學過去一百年的進展，讓這些數字都可以很精確地確定。後來，數學裡出現了“無窮大∞”。
這個符號是17世紀的英國數學家John Wallis發明的，將數字 “8”躺贏，變成無窮大“∞”符號。我們不得不說，他真是天才。說到“∞”符號，或許很多讀者未必知道，世上存在一隻咬著自己尾巴的蛇。
再說說與無窮大符號很像的莫比烏斯圈。取一張紙條，扭轉180度之後，兩頭再粘起來，這樣的紙圈，就是神奇的莫比烏斯圈。
我們可以想象一隻螞蟻沿著莫比烏斯圈爬，它能在不跨越邊緣的情況下，爬遍整圈。然後一圈又一圈，回到原點。
莫比烏斯圈是隻有一個面的平面，不信你可以用一根筆在上面畫螞蟻爬行的軌跡，筆不用抬起來就可以在這張只有一個面的紙上畫滿線。
莫比烏斯圈沒有邊界的概念，看似有雙側曲面，卻是一個無限循環的圈。更神奇的，是用剪刀沿著紙帶中間，把莫比烏斯圈剪開。本以為是一分為二，兩頭不再相粘。但剪出來的，反而是一個兩倍長度的紙圈。
03
無限大和無限大的比較
後來，我們學了微積分，知道無限大和無限大並不一樣大。但是，無限大和無限大的比較，並不是通過誰大誰小來做到的，而是通過比較誰的增長速度快來做到的。
數學裡有個著名的洛必達定理，就嚴格證明了這件事。洛必達其實是個商人，是業餘數學愛好者，這個定理不是他發現的，而很可能是他從約翰伯努利那裡買來的。
洛必達出身貴族，曾受襲爵銜，未成年就解出帕斯卡的擺線難題。後來，他拜在約翰伯努利門下，鑽研微積分，著有《無限小分析》一書，創造出一種能用來求得滿足一定條件的兩個函數之商的極限算法。
而這本書，多半是伯努利寫的。
洛必達去世後，約翰伯努利發表聲明，稱洛必達定理和有些發現，應是歸功於自己。但是來不及了。這個定理現在還是被稱為了洛必達定理。
雖然伯努利叔侄三人對數學、統計學的貢獻大，不缺這一個定理，但是也還是很遺憾的，誰叫他拿了別人的錢呢。
04
“無限”到底存不存在
最近對“無限”的思考又升級了 ，其實相對論和量子力學告訴我們，自然界根本就沒有無限，也沒有連續。“量子”quantum這個詞就是“離散”的意思。
我們之前認為大的數字，如光速，其實是有限的，每秒才30萬公里（這個速度在宇宙的維度裡簡直慢透了）！宇宙從誕生到現在，只經歷了1017秒！而宇宙中的原子的個數也就是1080左右這麼多！
世間最遠的距離不是與你擦肩而過，而是宇宙的直徑：8.8x1026米（大約930億光年）。世間最短的距離也不是心與心的碰撞，而是普朗克距離：1.6x10-35米。所以，“無限”這個概念最奇怪的地方，是它根本就不存在！
那條咬自己尾巴的蛇，告訴我們：無限並不是沒有盡頭，無限的本質是循環往復的。
和許多哲學家一樣，我小時候也想過一個悖論。就是我跑100米短跑的時候，總要跑到一半50米的地方，而之後就需要跑到剩下距離的一半，也就是距離終點25米的地方，接著12.5米。
但這樣下去，永遠有剩下的距離的一半，這樣無限地分下去，怎麼可能到達終點呢？這個也叫Zeno悖論，幾千年前就有人提出來了，後來很多人各自獨立都在思考這個問題。
05
Zeno悖論
學過洛必達定律的自然可以說：不用思考，必達必達。從物理上講，到了普朗克距離就不可分了，所以那個瞬間就到達了。
從數學上講，無限多個的變得無限小的區間，最終合併起來的長度，可以是有限的。（An infinite number of progressively smaller intervals could nevertheless amount to a finite total interval.）
例如可以很簡單證明 1/2+1/4+1/8+…=1
這讓我想起另外一個曾經思考過的問題：假設有一盞燈，你控制那個開關，你讓燈亮一分鐘，這一分鐘它是亮的；之後的半分鐘裡你關掉它，這半分鐘它是暗的；之後的1/4分鐘裡你再打開它，它又亮了。
就這樣，你每次開關的時間縮短一半，直到無限（就是說那時候你的手，要無限快的，在開與關之間變換，每次變換之後，下個狀態的持續時間，是這次的一半），那麼在無限久的時間之後，這個燈是開著的還是關著的呢？
說回跑百米這件事，你會問，那個最後的瞬間，是怎麼達到的呢？即便距離終點只有1.6x10-35米，也可以跑到離終點0.8x10-35米呀？！我來給你一個數學的證明。
06
思維升級：如何抵達終點
我告訴你結論先：0.99999…=1。
也就是當小數點後面有無窮多個9的時候，它就相等於下一個整數。或許你會說：這怎麼可能呢？畢竟是沒到1呀。數學很嚴謹的，差一點點也不行。
那我用小學數學證明給你：
- 我問你1/3是多少，你說0.333… (後面無限個3)
- 我問你 1/3+1/3+1/3是多少，你說是1呀。
- 那0.333…+0.333…+0.333…是多少，。。。。啊，竟然是0.999…
這個證明告訴我們另外一個有正能量的道理：你如果真的努力了，雖然你覺得永遠到不了終點，但是你已經到終點了。我剛剛說過世間沒有無限，但是問一個簡單的問題，一片雪花的周長有多長？
這個問題涉及分形理論，是數學家Mandelbrot整出來的 （如下圖，值得一提的是：他有一段時間研究股票市場，做出了非常厲害的貢獻，但是他很快就回去研究分形理論了，所以金融市場的理論，現在還這麼弱。
這就是一個最簡單的雪花圖形（Koch曲線）：
- 最開始是一個等邊三角形；
- 然後在等邊三角形的三條邊上，分別長出一個小一點的等邊三角形，小三角形的邊長是原來三角形的1/3；
- 此後，每增加一步，都在上一步增加的三角形上，長出前三角形邊長1/3的等邊三角形，直到無限。
可以算出來這樣的最終的雪花的周長，是無限的！而它的面積又是有限的。畫一個圓就圈住他。
1964年，Mandelbrot問英國的海岸線有多長，且在Science上發表相關文章。如果不是有普朗克距離做最小的尺子，英國海岸線的長度，也是無限的！
有人說過，讓無數只猴子坐在打字機前，隨機敲擊鍵盤，如果不限定時間，那麼它們總有一天會打出一部《莎士比亞全集》。
其實不用猴子，前面說過 π 裡面包含了任何可能想象的固定長度的數字。如果用ASCII碼錶示英文字母，《莎士比亞全集》的長度是固定的，所以一定可以在 π 裡面找到《莎士比亞全集》！
而且不僅僅是《莎士比亞全集》，任何人類歷史或未來寫出來的東西，包括麥教授現在這篇文章，都可以在 π 裡面找到！ 不止能找到，還能找到無限多次，這不就是在不循環中出現的循環嗎？
這就是“無限”的魅力吧。
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