融入三角函數的導數綜合問題探究追尋數學探究的快樂
尤偉峰 解憂數學雜貨店 昨天
尤偉峰，中學數學高級教師，原臨川一中零班班主任，江西省骨幹教師，撫州市優秀教師，中學數學奧林匹克金牌教練員。從2008年至2016年6月，一直在臨川一中任教零班數學，共培養出25名清華北大學生（含2010年全省理科狀元徐師昌、2016年全省理科狀元計逸雄和2017年南昌市區狀元黃翔），特別是2016年所帶班級高考成績尤為突出：其中全省前十名中有4人，有8人錄取清華、北大，有17人上清華北大分數線。從2009年開始輔導數學競賽，參加全國數學高中聯賽的學生中累計有14人獲省一等獎，38人獲省二等獎，45人獲省三等獎。參加撫州市優質課比賽曾獲市一等獎，所撰寫的論文有10餘篇發表在《中學數學研究》、《中學生數理化》等學術報刊上，參與編寫的論著有《直擊高考》、《完美課堂》、《點撥》等。
引言：
一．談談我對數學及數學教學的理解：
①在與學生一起成長的過程中，感覺數學教學的過程就是一場思維的旅行，目的地雖然重要，但我覺得更重要的是學會欣賞沿途的風景，教會學生欣賞數學，欣賞數學中的美。
②數學就是玩概念，玩變形，玩推理。
③玩好題包含三個層次：把題玩好，玩好的題，讓題好玩。
（一）把題玩好：善選題，好做題，能編題，會品題。
（二）玩好的題：簡潔抽象，啟迪思維，值得玩味。
（三）讓題好玩：數學教師的追求。
④數學教學不是講課，而是組織學生進行高效的學習。
二．談談我對函數的理解
導數是一種工具：
形：幾何意義(切線的斜率) 數：平均變化率的極限
三.回顧利用導數可以研究的問題.
（1）研究函數的極值、最值問題；
（2）研究函數的切線問題（切線概念的理解---切線的求法----切線放縮）；
（3）研究含參函數的單調性；
（4）研究不等式的恆成立、能成立（存在性）、恰成立問題（含一元和多元函數問題）；
四．高觀點下的導數問題處理策略.
導數是高中數學與大學數學的一個連接點，它為初等數學研究函數提供了有力的工具，同時也是進一步學習微積分的基礎，從高觀點下解決導數問題，可以更加深入本質，清楚問題的來龍去脈。
（1）用極限思想解決問題
在現行教材中沒有給出極限的定義（只是在導數的定義中使用了極限符號），但在教材中從多方位、多角度滲透了極限思想：在研究雙曲線的漸近線、求 2 的近似值、二分法求方程的近似解、冪指對函數增長的快慢、介紹無理指數冪的意義以及在統計中研究密度曲線都
滲透了極限思想。在新課標及教材中均已給出極限定義。
（2）用函數的凹凸性解決問題
（3）用洛必達法則求極限後解決問題
高中數學人教 A 版選修 2-2 第一章用大量的篇幅介紹了導數的實際背景以後，抽象出來導數的概念的形式化定義：
這不僅說明“導數”是一種“特殊的極限”，而且還可以反向使用：為求某種特殊的極限也可以利用與之有關函數的導數給出。
（4）用麥克勞林公式解決問題
（5）用函數的級數知識解決問題
（6）用拉格朗日中值定理解決問題
（7）用定積分知識解決問題
五．今天重點研究融入三角函數的導數綜合問題.
※關鍵詞：三角函數 導數 探究
解後反思：本題的解法是“先必要後充分”，這也是求函數問題中參數範圍的常見、有效的解法. 在證明充分性中也可以考慮以下思路：
這正是 2008 全國Ⅱ理 22 題設計源頭
※探究的背景：
此不等式容易構造“差函數”用導數證明，也能基於三角函數線構造面積方法得以證明.
※探究問題設計：
源頭
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