提要
分類討論是初中數學中煎要的思想之一，解答分類討論的問題，要求學生必須具備堅實的基礎知識和基本技能。學生在審題過程中不注意進行全面的分析與查找，常會遺漏個別符合題意的結果，導致解答不完整。分類討論的實質是化繁為簡，將一個複雜的問題分為幾個簡單的問題，分而治之。
知識全解
一．分類討論思想的概念
分類討論思想是一種最基本的解決問題的思維策略，就是把要研究的數學對象按照標準劃分為若干不同的類別，然後逐類進行研究求解的一種數學解題思想。但是問題不能以統一的同一種方法處理或同一形式來表述，概括時，根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，再按照一定的原則或某一確定的標準，在比較的基礎上，將對象劃分為若干個既有聯繫又有區別的部分，進行逐類討論，最後把幾類結論彙總，從而得出問題的答案。
二、引起分類討論的原因
分類討論思想貫穿整個中學數學的全部內容中，初中階段數學運用分類討論思想解決的數學問題，其引起分類的原因主要可以歸結為以下幾個方面．
(1)概念本身是分類定義的，如絕對值等
(2)問題中涉及的教學定理、公式或運算性質、法則是有條件或範圍是限制的，或者是分類給出的
(3)含有字母系數（參數）的問題，有時需對該字母的不同取值範圍進行討論
(4)某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等都要進行分類討論
三．通常解答分類討論型問題的一般步驟如下
(1)確定分類對象
(2)對問題中的某些條件進行分類，要遵循同一標準，進行合理分類。（需理清分類的界限，選擇分類標準，並做到不重複，不遺漏）
(3)逐類進行討論（有時分類並不是一次完成的，還須進行逐級分類，對於不同級的分類，其分類標準不一定統一）
(4)對各類討論結果進行歸納，並加以整合，歸納出結論，運用分類討論思想解決問題時要在確保正確的基礎上儘量減少分類，使問題解決過程簡潔化
經典例題
類型1 由限制條件或範圍引起的分類
例1 如圖所示，在△ABC中，AB=AC，中線BD把△ABC的周長分為15和6兩部分，求△ABC各邊的長
【解析】設AD=CD=x，則AB=AC=2x，
當AB+AD=15，BC+ CD =6時，得2x+x= 15，x=5，BC=1
所以三角形的三邊長為10、10、1；
當AB+AD=6，BC+CD=15時，得2x+x=6，x=2，BC=13,
所以三角形的三邊長為4、4、13
因為4+4<13，所以不能構成三角形，
因此△ABC的三邊長為AB=AC=10，BC=1。
【點評】解答此類問題時，要注意分情況討論，以防漏解，同時要加強對於三角形中特殊線段的性質的理解及運用
類型2 含有字母的分類
例2 設a是有理數，則|a| -a的值( )
A．是負數 B．是非負數 C.是正數 D．可以是正數也可以是負數
【解析】由於題中沒有給出a是正數、負數還是0，故需分情況討論
當a為正數時，|a| -a=a-a=0
當a為負數時，|a| -a= -a-a= -2a>0
當a為0時，|a| -a=0-0=0
綜上所述，|a| -a≥0,故選B。
【點評】當被研究的問題包含多種情形，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情形來分別討論，得出各種情形下相應的結論，這種處理問題的思維方法稱為分類思想。運用它可以克服思維的片面性，有效地考查學生思維的全面性與嚴謹性。
類型3 對各類問題的不確定性進行分類
例3 如圖所示，⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點，OB交⊙O於點A，AB= OA，動點P從點A出發，以πcms的速度在⊙O上按逆時針方向運動一週回到點A立即停止.當點P運動的時間為_____s時，BP與⊙O相切
【解析】點P在⊙O上運動過程中，BP與⊙O相切會出現在兩個不同的位置上：
①當點P運動到直線OA的上方時，若BP與⊙O相切，連接OP，則∠OPB=90度
∵OP=OA =AB，∴∠B=30度，∴∠ POA =60度
∴劣弧AP的長為60π×3/180=π(cm)
∴點P運動的時間為1s
②當點P運動到直線OA的下方點P’位置時，若BP'與⊙O相切，連接OP'。同①，可得∠P'OA=60度。
∴優弧APP’的長為(360-60)π×3/180=5π(cm)
∴點P運動的時間為5s.故填1或5.
【點評】除了上述類型外，壓軸題中的存在性問題和探究性問題也經常要對不同的情況進行討論，這裡由於篇幅的原因，就不一一敘述了。總之，應用分類討論思想解題時，必須明確分類的依據，保證分類標準前後一致，另外分出的各類情況應該既不重複也無遺漏。
真題演練
例1 三角形三邊之間的關係
己知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為( )
A.11 B．16 C. 1 7 D．16或17
【解析】①等腰三角形的腰為5，底為6時，周長為5+5+6=16;
②當等腰三角形的腰為6，底為5時，周長為5+6+6-17
故這個等腰三角形的周長為16或17，故選D．
【點評】在解答此題時要注惠進行分類討論，判斷能否構成三角形的簡單方法是看較短兩條線段的和是否大於最長的線段，若大於，則能構成三角形；反之不能。
例2 圓中分類討論
已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為( )．
A．2√5cm B.4√5cm C．2√5cm 或4√5cm D.2√3cm 或√3cm
【解析】先根據題意畫出圖形，由於點C的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論
圖1 圖2
【點評】解決圓的有關雙解問題時，當沒有圖形時，應該根據題意仔細畫出圖形；當有圖形時，要根據題意注惠兼顧到每一種情況，把缺少的圖形畫出來幫助分析題意，儘量避免因思維定勢造成漏解的情形。
例3點、線的運動變化引起的分類
如圖所示，在直角座標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3，動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動，同時點N從點O出發，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動。當兩個動點運動了x秒（0 （1）求點N的座標（用含x的代數式表示） （2）設△OMN的面積是S，求S與x之間的函數表達式；但x為何值時，S有最大值？最大值是多少？ （3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由。 【解析】（1）根據題意得：MA=x，ON=1.25x （3) 存在某一時刻，使△OMN是直角三角形，理由如下 分兩種情況：①若∠OMN=90度，如圖所示 則MN||AB 此時OM=4-x，ON=1.25x ∵MN||AB ∴△OMN∽△OAB,∴OM/OA=ON/OB,即(4-x)/4=1.25x/5 解得：x=2 ②若∠OMN=90度，如圖所示 則∠OMN=∠OAB 此時OM=4-x，ON=1.25x ∵∠ONM=∠OAB,∠MON=∠BOA ∴△OMN∽△OBA,∴OM/OB=ON/OA,即（4-x）/5=1.25x/4 解得：x=64/41 綜上所述，x的值是2或64/41 
【點評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，座標與圖形特徵，直角三角形的性質，三角形面積的計算，求二次函數的解析式以及最值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是(3)中，需要進行分類討論，通過證明三角形相似才能得出結果。
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