學過高等數學或參加過考研的同學肯定知道，證明一個數列收斂是一類比較難的問題。在高等數學的範圍內，證明一個數列收斂只有兩種辦法：一個是夾逼定理，一個是單調有界定理。而這兩種辦法使用起來都有相當的困難。使用夾逼定理，需要找到一大一小兩個數列，同時它們還得有相同的極限。使用單調有界定理，不僅需要證明單調，同時還得證明有界，而且兩個還必須匹配：如果是單調遞增，則需要證明有上界；如果是單調遞減，則需要證明有下界。不管是哪種情況，使用起來都相當困難。如果是做大題的話，那麼詳詳細細地寫論證步驟還比較划算。但是如果碰到選擇題或填空題，一道小題也要耗上很長時間來判斷數列是否收斂，從時間上看就很划不來了。
那麼，今天就來給大家介紹一種非常快捷的判斷數列是否收斂的方法，我們稱之為壓縮數列法。
1.什麼是壓縮數列？
壓縮數列的定義如下：
從這個定義也可以看出來“壓縮”的意思，指的就是每兩項之間的差值在逐次縮小，並且還要小於一個比例常數，當然我們還要求，這個比例常數比1還要小。
2.壓縮數列與收斂性有什麼關係？
我們的結論就是：
定理：壓縮數列一定收斂。
我們來證明一下這個定義，需要使用比較判別法和絕對收斂。
好了，上面就是定理的證明過程。有了這個定理之後，在做選擇題和填空題的時候，如果你能發現它是一個壓縮數列那麼我就知道他一定是收斂的，這樣的話能節省很多時間。
3.應用舉例
首先來看一道在考研中非常常見的一類問題：
在標準答案中，只能使用單調有界定理：
用這種方法來證明過程非常繁瑣，需要使用兩次數學歸納法，而且如果判卷子嚴格的話，哪怕有一步有漏洞或者省略，都不能得到滿分。
那麼下面來用一下本文介紹的壓縮數列法來證明：
可以看出，用壓縮數列法來證明非常簡單，只需要一步即可完成。可以驗證，在很多情況下，壓縮數列法都是一種非常快捷的判斷數列收斂的方法。感興趣的同學可以找到更多的考研題目來試一試。
不過，這種方法並不在考研大綱範圍內，因此如果在考研過程中大題證明題使用這種方法是不允許的。但是對於做選擇題和填空題來講，這不失是一種節約時間的好辦法。
4.歷史背景
看了上面的例子，可能不少同學會感到非常驚訝，竟然還有這麼簡單且快捷的方法。但其實，這個方法也只是一個更高級定理的初等形式。這個更高級的定理便是歷史上赫赫有名的——巴拿赫不動點定理(Banach fixed-point theorem)。
巴拿赫不動點定理，也叫壓縮映射原理它的全文敘述如下：
當然，要理解這個定理，就需要學習更高級的數學知識了，這不在本文的範圍之內。
壓縮映射原理是泛函分析(functional analysis)這門學科中的非常重要的一個定理，是由波蘭數學家巴拿赫於1922年提出的，他本人也是泛函分析這門學科重要的創始人之一。
巴拿赫1892年出生于波蘭的克拉科夫，自小酷愛數學，但是命運卻比較坎坷，為家境和第一次世界大戰的原因，他沒有完整且系統地接受過專業的數學訓練。但他卻靠著堅韌的毅力，通過自學獲得了很多數學知識，結識了當時數學界的很多前輩。1917年，巴拿赫的第一篇論文發表在《克拉科夫科學院會報》上，並因此於1920年獲得利沃夫工學院的助教職位，從此開啟了他的數學生涯。
巴拿赫於1922年提出了巴拿赫不動點定理，1927年升為正教授。他引入了線性賦範空間這一概念，成為泛函分析的基礎概念，並且證明了泛函分析中的三大定理：泛函延拓定理，共鳴定理和閉圖像定理。他的名著《線性算子理論》是泛函分析發展學科歷史上的里程碑，它的出版標誌了這門學科的正式誕生。他本人也成為泛函分析領域研究的世界權威。
巴拿赫於1939年當選為波蘭數學會主席，但不幸隨即爆發了第二次世界大戰，波蘭被德軍佔領。巴拿赫在比較糟糕的境況下於1945年去世。
他和不僅是一位出色的數學家，也是一位出色的數學教育家，他培養了一大批青年，形成了強大的利沃夫泛函分析學派，為世界數學發展做出了傑出貢獻。
泛函分析是現代數學的一個重要分支，主要是利用分析學的方法研究各種各樣的函數空間，包括巴拿赫空間以及希爾伯特空間，以及空間上的算子理論。
泛函分析在其它各數學分支中都有廣泛應用，比如積分方程，微分方程，以及在物理學，經濟學等領域，尤其是宏觀經濟學中具有非常重要的地位。宏觀經濟學研究消費者長期選擇行為的所使用的拉姆齊模型和變分法，來源就是泛函分析。
不動點問題也是數學中的一個重要研究問題，所謂某個函數f(x)的不動點，指的就是它的原像和像一致的點，即滿足f(x)=x的點。當然數學家們的研究問題要遠遠比這複雜，誕生了三大重要的研究成果。其一便是本文介紹的度量空間上的巴拿赫不動點定理。它在證明微分方程解的存在性問題中具有極其重要的作用。
除此之外，在拓撲學領域還有布勞威爾(Brouwer)不動點定理，應用該定理可以證明很多非常有趣的事情。比如網上經常流傳的一個很著名的數學問題：拿一張本地的地圖鋪在地面上，那麼地圖上總有一個點和該點所表示的實際的點相重合。
第三個就是集值映射領域的角谷靜夫(Kakutani)不動點定理，那在經濟學領域中有很重要的應用，是研究一般均衡理論的重要工具。
5.總結
本文從一道簡單的考研題目說起，引出了一個重要的數學分支——泛函分析，目的就是為了向大家展示，數學的探索是無窮無盡的，每念及此，屈原的那句話都會迴響在筆者耳畔：路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索！
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