普通人要不要了解現代數學的奧秘，或者說數學家要不要向一般人宣傳現代數學，是當代數學家的一個心結。從理智和情感上講，數學家非常想普羅大眾能分享他們的研究成果，絕大多數人都渴望大眾的認可，數學家也不例外。問題在於，現代數學的大多數內容都埋藏在數學邏輯推導的細節中，同時，現代數學的結果往往出乎大家的想象。而且很多結果又沒有直觀性，還需要很多數學上的一系列知識鏈去支撐它，否則外人看來就像天方夜譚。而講清楚那些知識，可不是一朝一夕能辦得到了。所以數學家在數學方面，跟大眾對話非常的累。有一種不在一個頻道的感覺。
從另一方面講，可能是數學研究耗盡了數學家太多的精力，有名的大數學家往往講話中氣不足，比如陶哲軒，懷爾斯等，不像影星或者政治家那樣具有煽動性。每當偉崗在油管上看那些思想極其深邃數學家的演講，都有一絲遺憾的感覺，思維如此敏捷的人怎麼說話那麼低調，似乎自信心不強，很多重要內容竟然要要反覆地聽才能注意到！這給大家接觸現代數學造成一定的障礙。
當然從好的一方面講，現在的科技手段還能夠給大家展示數學家的風采，聽數學家細細敘述他們的思想。如果沒有視頻，你去讀數學家的著作，你根本就讀不下去。而且可能你連一點知識也學不到。偉崗前面就講過，讀黎曼猜想提出的原始論文，你根本就找不到黎曼猜想！也就是說，你連黎曼猜想怎麼提出的都找不到，更不要說深入的解釋和關聯信息。讀其它的論文也一樣。懷爾斯證明費馬最後定理的論文網上也可以下載到，可是你去讀，也根本讀不出一個知識點，說是天書都不過分。
怎樣突破數學家跟大眾的隔閡，目前誰也沒有好辦法。數學知識的積累太快了，而一般人受到的教育（指數學方面）又太初級。目前一個高中畢業生大概只能掌握古希臘時代的數學知識。如果你是個悲觀主義的人，你甚至認為一般人可能連古希臘人的數學都掌握不了。也就是說普通人竟然落後數學家幾千年！雖然在數學發展史上，停滯發展了幾百年，但是後來高速發展階段的近代現代數學竟然跟很多人無緣，這是一個極大的悲哀。
偉崗的觀點是，我們現代人應該積極地去接觸近代現代數學，雖然貌似學習瞭解這些數學知識沒有什麼現實作用。但是涓涓細流可以匯成大海，如果每個人或者很多人都積極去深入理解學習現代數學，大家就會在很多場合談論數學，在談論的過程中一些思維的火花就會迸發，這些火花肯定會極大推動現代數學被大眾理解從而促進數學的發展。
當然瞭解學習現代數學難度還是比較大，這也許是大多數人放棄學習的主要原因。拿這個伽羅華群來說，幾乎所有數學科普書都沒有深入地探討，最多也是提到對稱性。可見這個話題是個禁區，數學家認為難度超過大眾的理解。
其實伽羅華群可不是對稱那麼簡單。偉崗前面寫的兩篇可以說是連伽羅華群的邊都沒有摸到，但是但是還是有很多同學朋友反應太難了，閱讀量也嚴重下降，可見很多朋友同學都放棄了。也許目前市面上的數學科普書是對的，群論是科普很難說清楚的領域，深入地探討群論有一點曲高和寡的味道。
不過偉崗還是想堅持寫下去，雖然偉崗的水平非常有限，但是把高深的數學知識展現給大家一起探討，也是一種樂趣。也希望多一點朋友同學跟偉崗一起嘗試進入數學家的世界，如果大家都不關注數學家在幹什麼，數學的發展就會停滯不前了。
偉崗前面寫了三篇關於群論的文章，大致總結一下就是，群論是研究一組數的結構，而不是研究具體數或者運算。要實現研究一組數的結構，數學家（伽羅華首創）把一組數放在一起，用4個規則把這些數組合在一起，也就是封閉性，結合律，單位元和逆元。不要小看這簡單的4個規則，它開闢了一個嶄新的世界。很多意想不到的結果都被數學家證明出來，其中最古老最重要的就是證明5次及5次以上方程沒有根式解（事實上群論就是為了解決這個根式解難題而產生的）。
根式解問題產生的最根本原因是數的性質。伽羅華以他敏銳的洞察力斷言，存在一類數，這類數滿足5次及5次以上方程（也就是說是五次及5次以上方程的解），但是這類數無法通過其他有理數的加減乘除以及開方運算得到。而最最的關鍵地是，那些其他有理數就是5次及以上方程的係數。也就是說，5次及5次以上方程存在這樣的解，它們無法用方程的係數通過加減乘除以及開方運算計算出來。
伽羅華證明了他的斷言，用的就是他首創的群論。當然伽羅華也不是憑空想起群論這個理論，他第一步是引進拉格朗日的置換理論，提出置換群理論，這個是證明伽羅華定理（也就是5次及5次以上方程沒有根式解定理）的關鍵。
置換群中的元素不是具體的數，而是置換運算，這是群論的第一個難點。在初等數學階段，我們只習慣對具體的數或圖進行運算推理，雖然有時候用字母來代替具體的數，給我們的運算推理造成很大的麻煩，但還是可以把那些字母想象成具體的數，甚至可以用具體的數去驗算。到了群論階段，你要用更抽象的思維來思考問題。置換群是一個起點。
要理解伽羅華理論，域論也是一個攔路虎。複雜的域論是證明伽羅華定理的必須。域論的存在，偉崗認為是為了把多項式跟群論結合起來。用群論的方法研究多項式，就是把多項式的係數提煉出來，通過對係數的組合，研究多項式組成方程根的性質，最終得出伽羅華定理。
分裂域是域論的一個難點，也是連接多項式係數和根的一個橋樑。分裂域不但把多項式的係數和根都組合在一起，而且組合的形式又採用了跟多項式因式分解有關的擴域方法。這些都是後來證明伽羅華定理的必須準備，只可惜到了這一步，偉崗也理解不了埋藏在擴域形式後面的邏輯關係，這個肯定跟伽羅華定理的證明有關，但關聯在哪裡就找不到直接的聯繫了。
有了擴域和分裂域，我們就可以看看什麼是伽羅華群了。這又是一個非常抽象的東西，因為組成伽羅華群的元素既不是具體的數，也不是顯而易見的轉換（比如置換群的元素），而是被數學家定義為自同構的變換！
伽羅華群的定義是這樣的（還是按照抽象代數教科書）：假定E是F的伽羅華擴域，E的所有使F中元素固定不變的域自同構成為一個群，記這個群為G=Gal(E/F),稱為擴域(E/F)的伽羅華群。
上面這個定義雖短，卻有很多數學秘密，這些秘密現在的數學科普書讀不到，但願不久的將來，大眾的數學水平提高了，這樣的定義就像方程的定義一樣廣為人知。
首先，什麼叫伽羅華擴域？伽羅華域實際上就是有限域的代名詞。數學越往深處學，名詞和代號符號會成為巨大的障礙。就連舒爾茨這樣的天才，也有一個專門的櫃子放置關於數學代號符號及名詞的文檔，隨時查閱，可見這些內容的繁雜且不容易記住。我們數學水平比較低的人，之所以讀到現代數學家的文獻感到像天書，最令人困惑的就是一堆數學符號，你根本搞不清這些符號代表什麼意思，怎麼來的。但願以後印刷技術發展了，點一個符號就可以看到它的意思，這樣數學的推廣和發展會上一個臺階。有限域就是元素個數有限的域，這個好理解；
為什麼要採用擴域的形式來定義伽羅華群也是相當困擾大家的。為什麼不直接就定義一個域呢？這裡面大有講究。把多項式係數跟方程的根既組合又區別對待，這是伽羅華理論的精髓。
事實上從教科書後面的內容看，正是因為有了擴域才使得判斷多項式方程有沒有根式解成為可能。這裡面也有很多數學家不願意講給大眾聽的秘密，因為這些內容有一定的難度。按照偉崗的理解，粗略地講，當一個方程在實數域裡沒有解，這時它在實數域裡因式分解就不可能（數學家稱之為不可約），但是這個方程在複數域裡肯定是有根的，這時多項式的分裂域可以由多項式方程的根來表示。通過這個分裂域可以求出多項式伽羅華群的階數，通過這個階數加上其他條件就可以判斷多項式方程有沒有根式解。
上面這些敘述蘊含的數學知識還是太多，對於普通人也許暫時忽略它們比較合適，大家只要知道，伽羅華精妙地把多項式係數和多項式組成方程的根結合在一個群中，同時又區別對待了多項式係數和根，這使得在數學證明上有很多特殊手段，找到一個方程有沒有根式解的充分必要條件。
接下來域的自同構又是一個三言兩語講不清楚的數學概念。第一，你必須理解同構。我們前面講過，群是研究數的結構的。同構的概念就相當於運算中的等號。也就是說，在群論中，如果兩個群同構，那麼就可以當做是一個群來研究。那麼怎樣才使得兩個群同構呢？數學家把兩個群之間如果存在一一對應的關係（數學上叫映射），那麼兩個群就同構。當然還有很多細節要去理解，不過大體上講，兩個群只要群裡的元素能夠對應起來，那麼兩個群的結構就是一致的，也就是同構。至於對應方式，在群論中就很少研究，畢竟群論是研究群結構的，而不是研究怎樣得到一個特定的結構，所以群論中的對應（也就是映射）是個抽象的東西，沒有具體內容，但是又確實存在，這也許是數學家不願意給大眾上課講同構的主要原因。你必須熱愛數學，發揮你的數學想象力，才能真正理解同構和映射這樣的數學知識。
自同構是建立在同構基礎上。它是指一個群內部的同構。這又怎麼理解呢？簡單講，就是如果存在映射，能把群的一些元素映射到群裡其它元素上，那麼這些映射就是自同構。按照伽羅華群的定義，構成伽羅華群的自同構是把多項式擴域的元素映射到多項式係數上。也就是說，這樣的變換，他們把多項式擴域中的元素通過變換能夠等於多項式的係數。有了這樣的解釋，幾個巨大的疑問就產生了，這樣的變換存在嗎？就算默認這些變換存在，它們真能構成一個群嗎？就算數學家有天才，證明了這些自同構組成了一個群，我們怎麼去求這些自同構啊？畢竟自同構是個抽象的東西，它們甚至沒有固定的形態，這樣的東西在數學上怎麼去操作它們？
你還別說，伽羅華以及後續的數學家還真是天才，這樣的自同構竟然被他們拿來充分地研究，甚至對於具體的方程，他們也能從某種意義講求出了全部自同構。當然這裡所說的求出，不是具體地列出了自同構，而是把自同構群同構到一類群（具體講就是置換群）上，從而用來證明5次以及5次以上方程在什麼條件下沒有根式解，你不服還真不行。
不過這些內容要寫起來，篇幅又太長，今天就暫時寫到這裡吧。文章結尾還是要感謝朋友同學的鼓勵打賞，謝謝了！
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