求函數的值域方法很多，不管你用什麼方法，首先要關注函數的定義域。定義域不同，值域往往是不同的。
①觀察法：如X²≥0；1/x≠0；一些基本初等函數等；
②換元法：含有根式的換元去根號；有重複出現的代數式也可換元代簡。換元法一定要記住新“元"的範圍，否則極易出錯。換元后通常轉化為二次函數問題。
③配方法：解二次函數類型題常用配方法，一般要求出在給定區間內的值，所以是一個很頭疼的問題。前面初高中銜接內容講過，有興趣的同學可以看看喲。
④分離常數法：對於分子分母有關於x的同次式常用此法化難為易。如y=(x+2)/(X一1)=(x一丨+3)/(x一1)=1+3/(X一1)，化為一個整數和一個分子為常數的分式；
⑤單調性法：依據單調性確定函數的增減求值域是高中數學常用方法。
⑥數形結合法：畫出函數的圖象觀察，找出取值範圍。
⑦判別式法：有些分式函數對任意X恆成立，可以轉化為二次函數，利用△求解。但一定要注意條件：是對任意x都成立。
求下列函數的值域。
1、y=1/(1+x²)
解：因為X∈R，所以X²≥0，x²+1≥1，所以0<1/(1+X²)≤1，所以函數的值域為(0，1]。一一觀察法。
另解：設1+X²=t(t≥1)，則y=1/t，因為y=1/t在[1，+∞)上是減函數，所以0 2、f(X)=2X+√(1+2X) 解：設1+2X=t²，t≥0，則2X=t²一1，函數變換為y=t²一1+t， y=t²+t一1=(t+1/2)²一5/4，函數y在[0，+∞)上是增函數，當t=0即X=一1/2時取得最小值一1，所以y≥一1，故函數的值域為[一1，+∞)。 此題用換元法，轉化為關於t的二次函數後再用單調性法求解。易錯一：換元后t的取值範圍不求出或求錯；易錯二：轉化為二次函數後不管t的範圍得到≥一5/4。糾錯方法為①只要換元，必須確定新“元"範圍；二次函數求值域先畫出大致圖象觀察增減，然後得出取值範圍。 3、f(X)=√(X²一2X+3) 4、f(x)=√(X²一2X一3) [分析]這兩題極為相似。第3題(X一1)²+2≥2；第4題(X一1)²一4≥一4，但作為二次根式的被開方數，只能是≥0，如若不注意二次根式的意義，就會出錯。有學生就求得y≥根號一2。 3解：∵X²一2X+3=(X一1)²+2≥2 ∴√(X²一2X+3)≥√2 故函數的值域為[√2，+∞) 4解：∵X²一2X一3=(X一1)²一4 ∴√(X²一2X一3)≥0 故函數的值域為[0，+∞)。 5、f(X)=(X一1)/(4X+2) 6、f(X)=(X²一1)/(X²+1) 7、f(X)=(X²一4X+3)/(2X²一X一1) 8、f(x)=(2X²+4X一7)/(X²+2X+3) 這一組題目都是分式函數，那麼求值域的方法有什麼不同呢？ [思路探尋]第5、6題根據分子分母的特點，可採用分離常數法。分離常數法實際上是"換元法"的思想，化難為易。 5[解析] f(X)=1/4(4X+2一6)/(4X+2) =1/4一3/2(4X+2)≠1/4 6[解析]f(X)=(X²一1)/(X²+1)=(X²+1一2)/(X²+1)=1一2/(Ⅹ²+1) ∵X²+1≥1，∴0<1/(X²+1)≤1 ∴一2≤一2/(X²+1)<0 ∴一1≤1一2/(X²+1)<1 故函數的值域為[一1，1) 另解：設Ⅹ²+1=t(t≥1)，y=1一2/t ∵y=1一2/t在[1，+∞)上單調遞增 
∴y≥一1，又y<1，∴一1≤y<1
第6題利用函數的單調性極易錯求為y≥一1。y=1一2/x是由反比例函數變換而來，結合函數的圖象，觀察取值範圍是最好的方法。
7、定義域為{X丨X≠一1/2且X≠1}
f(x)=(X一1)(X一3)/(2X+1)(X一1)
=(X一3)/(2X+1)=1/2一7/2(2X+1)
≠1/2
由定義域X≠1，當X=1時，
f(X)=(X一3)/(2X+1)=一2/3
∴f(X)≠一2/3
故函數的值域為(一∞，一2/3)∪(一2/3，1/2)∪(1/2，+∞)
8、解法一：分離變量法。(略)
解法二：判別式法。
函數的定義域為R，
令y=(2X²+4X一7)/(Ⅹ²+2X+3)
去分母並整理得
(y一2)X²+(2y一4)X+7+3y=0
顯然y=2時不成立。當y≠2時，
△=4(y一2)²一4(y一2)(7+3y)≥O
(y一2)(2y+9)≤O，一9/2≤y<2。故函數的值域為{y|一9/2≤y<2}。
運用判別式法一定要確定是一元二次方程才能行。當y≠2時，關於X的一元二次方程有實根，等價於判別式△≥0，當y=2時方程不成立。故y≠2。
函數的定義域和解析式確定，函數的值域隨之確定。解析式不同，求值域的方法也不同。其中化為二次函數求值域和利用函數的單調性及數形結合法求值域是最常見的方法。需牢牢掌握。
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