數學是一門邏輯很嚴密的學科，連貫性比較強，都是建立在最基本的定義、概念的基礎上的；要把數學學好得多問幾個為什麼？多思考，得把基本的概念定義弄明白了！比如小學就學過什麼叫自然數、合數、質數、分數等等，如果概念都不懂就很難學下去。我個人認為不管你學到什麼時候都不要忘了最更本的概念、定義。
今天我們來研究高中數學中的三角函數，是怎麼一步步演變而來的！我們先從角開始說起。
一、先有射線
射線
二、在射線的基礎上我們定義了角
來看看初中對角的定義：從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形。
角
角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量大小的，在小學我們就會用量角器來度量角的大小。在平面幾何中角的取值範圍：0°~360°
角的分類
三、研究角的性質，初中我們在直角三角形中定義了三角函數。
直角三角形
三角函數
我們都知道在直角三角形中不存在鈍角，我們在高中階段定義了任意角：
一條射線繞著它的端點在平面內旋轉形成的圖形。
任意角
在此基礎上我們定義了：
正角：按逆時針方向旋轉形成的角
負角：按順時針方向旋轉形成的角
零角：一條射線沒有作任何旋轉形成的角(零角的始邊與終邊重合)
四、為了便於研究三角函數，於是我們將三角函數定義推廣至平面直角座標系中。
1.銳角開始，藉助直角三角形中的定義
平面直角座標系中的三角函數
座標系中的定義
2.推廣至鈍角，定義不變：其中P（x,y）中，x<0,y>0
直角三角形中的鈍角
三角函數定義
角推廣至超過180°，甚至超過360°時，“兩射線夾角”這個定義顯然不能滿足需求
超過180°的角
射線a與b，順時針方向形成夾角β，逆時針方向形成夾角α，於是角的大小與方向有關。
角
射線a與b，所夾銳角為β，但超過周角大小的角α也被它們所夾，於是角的大小與是否超過周角有關。
因此，角的概念推廣至：一條射線a，繞著端點旋轉至終邊b形成角。且逆時針旋轉形成正角，順時針旋轉為負角。
把角放在直角座標系中定義三角函數：
其中，射線a做x軸，a的端點是原點，在終邊b上任取一點P(x，y)，定義三角函數如下：
直角座標系
三角函數的定義
已知角的終邊為直線3x+4y=0，在α終邊上任取一點P，
角終邊在直線上
三角函數
由於直線3x+4y=0是由兩條射線構成，因此對應兩組三角函數值。
其中α可以表示成
終邊相等的角的集合
任意角三角函數值只與終邊位置有關，站在純代數角考慮，要表示以直線3x+4y=0為終邊的α的三角函數值，可以在終邊上任取一點P(4a,-3a)，則，
三角函數
下面來看一個高考題：
【2018全國I卷11】已知角α的頂點為座標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊上有兩點A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=2/3，則|a-b|=______.
解法一：
解法一
解法二：
解法二
法二
關於三角函數的一些總結，整理好持續更新，特別利用直角三角形在三角函數中的一些巧妙運用，關注我，就不會錯過喲！
閱讀更多 數學源泉 的文章
