數學課本里總有一些很難弄明白的原理,對著數學你是不是愛不起來!把它們都變成GIF是不是容易多了?
聽說給小朋友看,可以騙TA相信數學就是動畫片哦!
請聽題:三角函數既然是函數,那它的自變量和因變量都是什麼?
從這張圖裡可以很明顯看到,所謂正弦函數,其實就是圓上任意一點的y座標(紅)和弧長(藍)之間的關聯。左圖的藍色弧長和右圖的藍線完全一樣。
而弧長又和弧度是完全對應的。為什麼高中老師不肯用經典的360度角而一定要教你奇怪的“弧度”?就是因為這個對應。1弧度就是長度為1個半徑的弧所對應的角,π弧度就是正好半個圓——相應的,之所以 sinπ=0,正是因為當藍線走了一個π(一個半圓)的時候,正好也走回到了 y = 0 的地方。
那餘弦函數呢?留給讀者作為練習——
sin函數和Cos函數曲線怎麼來的?
餘弦函數就是圓上任意一點的x座標和弧長 之間的關聯,只不過在畫函數曲線的時候,把圓上點的x座標打了個彎,對應成了函數曲線上的y座標,就像這張圖裡的藍線那樣。
為了體現餘弦函數的這個對應,我們也可以直接把函數本身豎過來,就成了這樣:
當然,這種對應也可以用在其它幾何圖形上,只不過就不如圓那麼美麗了,比如下面這個醜陋的心形。
要不為什麼說圓是最完美的身材!(並不是)
極座標的魔法
如何把直角座標變成極座標?看我的:
這是什麼黑魔法……
別急,聽我解釋,事情就是你看到的那樣:
首先我們需要把函數沿直線 y = x 翻轉。之所以要有這一步,是因為極座標裡我們很武斷地把0度定義在了朝右。如果0度是(更自然的)朝上,那就不需要這一步了。
然後,我們把Y軸折彎過來,直到它縮成一個點。成功!
思路是這樣的:直線在幾何上可以認為是具有無限直徑、無限曲率半徑的一個圓,永遠不向自身彎折。但如果我們逐漸降低曲率半徑,從無限一直降到零,就等於是把Y軸變成一個逐漸縮小的圓、最後變成一個點。而原來直角座標的“Y軸”所承載的信息,在轉換中就逐漸移交給了極座標的“角度”。
注意,這個轉換體現的是極座標和直角座標之間不同的對應方式,是把一種對應變成了另一種對應,而不是說把同一個曲線從直角座標表達式換成極座標表達式。前後兩個是不同的曲線。
正十七邊形尺規作圖
正十七邊形可以用尺規作出來,這是高斯1796年19歲時證明的。這是正多邊形尺規作圖兩千年來頭一次有所突破——換句話說,上一次人們發現新的正多邊形尺規作圖法還是在古希臘。
但是,高斯本人實際上並不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格(Johannes Erchinger)給出,而上面的這個方法——“卡萊爾圓法”則要更晚。(猜猜這個卡萊爾是誰?托馬斯·卡萊爾。對,就是那個《法國大革命史》和《論英雄、英雄崇拜與歷史上的英雄業績》的作者。)
那高斯怎麼就知道正十七邊形是可以做出來的呢?因為他懂數學。他已經知道,如果一個正多邊形內角的三角函數能用加減乘除和開平方表達出來,那就意味著這個正多邊形能用尺規做出來。(尺規等價於只使用圓和直線的交點作圖,直線的表達式是二元一次方程,圓的表達式是二元二次方程,所以只用到了加減乘除和開平方。)而他又證明了,只要正多邊形的邊數n是費馬素數,那麼就能這麼表達。當時人們已經知道前五個費馬素數是3、5、17、257和65537,所以高斯等於一舉證明了這五種正多邊形都是尺規可做的。
不過,正三邊形(好吧,正三角形)和正五邊形人們早知道了,而正257邊形什麼的做起來又太麻煩,所以最後正十七邊形成了最出名的。
那麼正十七邊形的對應三角函數應該怎麼表達?高斯的《算術研究》給出了結果:
三角形內角和為什麼是180º?
怎樣把一個四邊形剪拼成一個長方形?
兩個全等三角形可以拼成一個平行四邊形
兩個全等梯形可以拼成平行四邊形
怎樣將一個正三角形剪拼成正方形?
怎樣把兩正方形剪拼成一個大正方形?
三角形外角和為360º的三種動畫解釋
畫一個橢圓
個橢圓
接著是一個雙曲線
雙曲線體是由無數條直線構成的!
這是一個它的實際應用
對數函數是這樣來的
帕斯卡三角形的計算方法
圓周率怎麼來的?
黃金分割
如何計算圓形的面積?
tan函數曲線怎麼來的?
這張可以表示Sin與Cos的關係
弧度制怎麼來的?
矩陣轉置怎麼來的?
勾股定理怎麼來的?
謝爾賓斯基三角怎麼來的?
多邊形的外角和等於360度怎麼來的?
怎麼樣,對數學是不是有了一點好感呢?
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