接觸過高等數學知識的人，對“黎曼”這一詞肯定不會陌生，如柯西-黎曼方程、黎曼積分、黎曼引理、黎曼ζ函數、黎曼流形、黎曼映照定理、黎曼空間、黎曼-希爾伯特問題、黎曼思路迴環矩陣等這些定理或公式，都與“黎曼”一詞有關。
在數學分析和微分幾何等領域裡，黎曼就像一個王者，統治著這些數學分支的發展，甚至對物理學等其他領域的發展也產生著重要的影響。
誰是黎曼？黎曼又是什麼樣的數學家？他為什麼能成就愛因斯坦呢？
黎曼全名是波恩哈德·黎曼（1826年—1866年），他是德國著名的數學家，主要的數學成就集中在數學分析和微分幾何兩個領域裡，特別是黎曼開創了黎曼幾何，這是他最偉大的數學成就之一。
黎曼
黎曼幾何、歐氏幾何和羅氏幾何（羅巴切夫斯基和鮑耶創建的幾何稱為羅氏幾何），這三大幾何是幾何學裡最重要的內容，成為現代幾何學的支架。
黎曼在1826年出生於德國的一個小鎮佈列斯倫茨，他從小體弱多病，造成性格較為孤僻，如終生喜歡獨處。
黎曼一開始接觸學習的主課並不是數學，他的父親是一名牧師。受家庭環境的影響，在1846年，黎曼進入哥廷根大學學習的是哲學和神學。
在偶然機會之下，黎曼接觸了一些數學書籍或講座，如高斯關於最小二乘法的演講，從此對數學愛的一發不可收拾，決心走上學習和研究數學的道路。
黎曼把這個想法告訴了父親，並得到了父親的允許，從此便改學數學。
黎曼在大學期間，主要受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷等數學家的影響。
黎曼
在1851年，黎曼就發表了著名的柯西-黎曼方程，( 即論證了複變函數可導的必要充分條件) 。同時，黎曼藉助狄利克雷原理闡述了黎曼映射定理，併成為函數的幾何理論的基礎。
在1853年，黎曼定義了黎曼積分，並進一步研究了三角級數收斂的準則。
在1854年，黎曼建立了著名的黎曼空間的概念，直接把歐氏幾何、非歐幾何納入了黎曼空間的體系之中。
也就是在同一年（1854年），黎曼發表了著名的演說《論作為幾何學基礎的假設》，告訴世人還存在著另一種幾何學，並創立了黎曼幾何學，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。
那麼，如何去理解黎曼幾何呢？
在很多人的常識裡，兩條平行的直線是不存在著交點，但這個定理在黎曼幾何是“錯誤”的。因為在黎曼幾何中是這樣去規定：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。直白的講，在黎曼幾何學中是不承認平行線的存在。同時，黎曼幾何還講到：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。
因此，按照這些基本規定，在黎曼的設想裡，黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。更加直白的講，黎曼幾何將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。
看到這裡，或許有人會問：到底有沒有平行線？哪種幾何定理才是真的呢？其實，它們都是對的。
在中小學時期，我們接觸的幾何一般是屬於歐式幾何，但在高等數學裡，黎曼幾何和羅氏幾何就佔據著重要的位置。
歐氏幾何、羅氏幾何和黎曼幾何是三種不同，但又緊密聯繫的幾何。這三種幾何在自己的領域裡，所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各個公理之間滿足了和諧性、完備性和獨立性這三大最基本數學要素。
因此，直線會不會平行，要看你在哪一個幾何學裡去判定。
那麼，歐氏幾何、羅氏幾何和黎曼幾何分別有什麼作用呢？
在現實生活工作中，我們用到的幾何一般都屬於歐式幾何，它就能滿足你的基本生活需求；
在浩瀚的宇宙空間，或是小到原子核世界，就需要用到羅氏幾何；
當我們需要了解某一顆星球的狀況，如在地球的表面研究航海、航空等實際問題，就需要用到黎曼幾何。
嚴謹的說法：歐氏幾何是平直空間中的幾何，羅氏幾何則是負曲率空間中的幾何，黎曼幾何是正曲率空間中的幾何。
從黎曼幾何誕生那一刻起，就註定了不平凡，經過後續一些數學家完善和發展，黎曼幾何不僅對拓撲學、偏微分方程、多復交函數論等數學分支產生重要影響，更直接影響現代物理學的發展。
如偉大的物理學家愛因斯坦，在1915年發表了著名的廣義相對論，正是以黎曼幾何為數學基礎。
愛因斯坦在廣義相對論裡說明到：放棄了關於時空均勻性的觀念，認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。
愛因斯坦關於時空的物理解釋，正是黎曼幾何的數學觀念，因此，愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何本質上就是黎曼幾何。
很多人認為黎曼貢獻了“黎曼幾何”之後，已經算得上是一位偉大的數學家，但沒想到的是黎曼給世人留下更“麻煩”的事情，那就是著名的黎曼猜想。
黎曼猜想可以說是黎曼留給後人的最大難題之一，更是當今數學界最重要的數學難題。因此，希爾伯特在1900年把它列為20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題之一，在千禧之年，克雷數學研究所把黎曼猜想當作世界七大數學難題之一。
什麼是黎曼猜想？
它要求解決的是黎曼zeta函數ζ(s)的非平凡零點都位於複平面Re(s)=1/2直線上，數學家們把這條直線稱為臨界線。
很多人聽說過費馬大定理和哥德巴赫猜想，或許沒聽說過黎曼猜想。不過，黎曼猜想在數學上的重要性要遠遠超過另外兩個，因為在當今數學文獻中，已經有超過一千多條的數學命題是以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提條件。換句話說，如果黎曼猜想不成立，那麼這一千多條的數學命題就要作廢，屬於假命題，對數學發展的打擊是非常大。
黎曼的主要著作有以下這些：《引力、電、磁》、《數學物理的微分方程》、《單複變函數一般理論的基礎》、《橢圓函數論》、《藉助三角級數表示函數的可能性》、《不超過已知數的素數的數量》、《關於以幾何學為基礎的假設》等。
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