偉崗眼裡的伽羅華理論教育頭條網

2019-01-24 12:03:57 偉崗飛鏢

前一篇文章受到很多同學朋友的鼓勵打賞，這給了偉崗很大的驚喜。在這裡表示感謝！偉崗的想法是把目前對大多數人來說比較難的數學知識展現出來，儘量讓更多的人理解現代數學。數學的發展突飛猛進，遺憾地是，絕大多數人僅僅滿足於初等數學，甚至認為學會加減乘除就夠了。深入理解微積分的已經不多，比微積分更深入的，比如群論，非歐幾何，橢圓函數，數論等，理解的人就更少了。

其實深奧的數學也沒有難到普通人完全明白不了的程度。況且從窺探現代數學的奧秘中，大家可以學到很多數學知識，數學素養會不知不覺地提高。反倒是天天埋頭在初等數學裡刷題等，數學考試水平很難提高。站在一個更高層次來理解數學，很多你以前總是出錯的數學考試題，有時候很容易就糾正過來。

數學素養地提高，還不單單是應付考試的問題。也許跟大家的普遍觀點相反，數學越高深，其邏輯還越嚴密，因為在更高的角度看問題，你已經沒有超出範圍的藉口，你必須完成你的邏輯鏈才能真正形成數學上的內容。所以，在關注現代數學的同時，你的邏輯思維能力就不知不覺的加強了。邏輯思維能力的改善，甚至能改變你的世界觀，面對目前這個謠言瀰漫的信息時代，邏輯思維能力也許能使你的生活水平得到很大的提升。

還是開始我們今天的內容吧。有同學反映，偉崗你怎麼兜兜轉轉，伽羅華理論到現在還沒有寫到。說句實話，還真不是偉崗囉嗦，是因為群論太難，預備知識太多，你沒有準備，直接讀到伽羅華定理，你會一頭霧水。

不過今天偉崗把伽羅華理論的邏輯鏈條理理，讓大家初步有個概念。首先要提醒大家地是，偉崗也是自學的群論，所以不能保證沒有錯誤，只不過通過偉崗的理解和描述，可以給大家展示一下群論的魅力。

偉崗準備從兩頭說，一頭從伽羅華理論的結論倒敘，一頭從置換群開始，聊聊群論的理論基礎，這樣是不是大家好理解一些？

按照《抽象代數—理論，問題與方法》一書的敘述，代數方程的伽羅華理論是這樣的（也叫方程可解性的基本定理）：域F上不可約多項式f(x)=0有根式解的充分必要條件是：f(x)的分裂域E對F的伽羅華群G=Gal(E/F)是可解群。

你要是第一眼就完全理解這個定理，那你伽羅華理論就完全掌握了，相信很多人做不到。裡面有很多術語先要知道。第一個要了解的就是群論中域的概念。

域實際上是群概念的延伸。一般教科書都是從群到環再到域。環概念的引進，主要是因為基本運算中有加法還有乘法。既然基本運算有兩種運算規則，加上兩個運算規則又是相互關聯的（也就是說乘法對加法有分配律），對待群這個範圍的理論，群中元素，我們也要定義兩種運算規則，而且其中一個運算規則對另一個運算規則有分配律。這種由群引申出來的，帶有兩種運算規則，其中一種運算規則對另外一種運算規則有分配律的特殊群就叫環。相比較群，環就多了兩個條件（實際上是三個）。一個就是對第二個運算規則也要有封閉性（也就是說經過第二種運算得到的結果還要是環的元素），第二就是分配律（理解分配律，可以參考乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+bc.）。同時（也就是第三點），環的第一種運算要滿足交換律（類似加法的交換律：a+b=b+a）。這裡特別要強調地是，對於群理論中的運算，是一種抽象的運算，我們只能參考基本運算中的加法乘法來理解，但是群理論中的運算不一定就是我們想象中的加法和乘法，這點非常重要，請大家自己體會體會。

從環定義中又引申出交換環，也就是說環的第二種運算也滿足交換律（即類似乘法ab=ba）,那麼就叫交換環。域就是一種交換環，同時域中全體非零元素組成一個群。

環和域的定義有些抽象，認真的同學可以參考一下教科書，一般同學就知道是特殊群就可以了。

不可約多項式的存在是為了研究問題的簡化，由於可約多項式都可以化成不可約多項式，所以我們可以拋開一般多項式，只研究不可約多項式。所謂不可約多項式簡單理解，就是不能寫成兩個次數較低的多項式之乘積的多項式。

接下來分裂域的概念就有些複雜。這個概念還隱含著把多項式跟群的思想連接起來，所以包含的內容非常多。理解了分裂域，對伽羅華理論的理解就進了一大步

。

偉崗如果直接把分裂域定義拋出來，可能會嚇走很多讀者。我們還是先講講一些背景知識吧。

我們知道，伽羅華設想出群論不是為了研究群論的理論，而是為了解決5次方程根式解問題。以伽羅華短短21年的生涯不可能預見到群論是那麼博大精深，他只是為了解決困擾數學家幾百年的根式解難題。

偉崗前面提到過，伽羅華首先考慮的是方程係數的對稱性，或者說從方程根與係數的關係中，演化出沒有根式解這個驚天動地的結論。從方程根與係數的關係到5次方程沒有根式解需要一條旁人難以想象的橋樑，初步考慮建橋可能性的是法國數學家拉格朗日（偉崗這裡要道歉，前面有篇文章，偉崗把拉格朗日誤認為了是達朗貝爾，非常不好意思，犯這麼低級的錯誤）。

拉格朗日提出了一種所謂預解式的方法來求代數方程的根式解。正是拉格朗日的這種預解式區別出了5次以下和5次及以上方程的解法。也就是說，拉格朗日方法在解2,3,4次代數方程時，幾乎毫無困難（當然也需要比較複雜的推導），但是一到5次方程，拉格朗日的方法突然失靈了。這給5次方程沒有根式解提供了一些思維的空間。

同時，關鍵還在於，拉格朗日的方法是對方程係數的置換變換，得出一些中間轉換的矩陣，再演算矩陣而得出方程的根式解。雖然從拉格朗日的思維中，還得不到群論的思想，但是這種靠著添加中間項而擴展方程係數與根的關係的思路正是以後伽羅華用來創造群論理論的基礎。這一個發展鏈條，有很多技術細節，《古今數學思想》這部大作有比較詳細的論述，不過推導太過複雜，說老實話，偉崗也只能理解個大概。

預解式的方法到5次方程就失效，根本原因是5次方程沒有預解式，如果有預解式，那麼5次方程就有根式解了。從另一方面講，拉格朗日對方程係數的處理肯定有缺陷，否則他就可以得到5次方程沒有根式解這個結論。怎麼處理方程的係數成了解決5次方程根式解的關鍵。一個代數方程，實際上就是研究一個代數多項式等於零的情況，所以我們第一步就是要研究多項式。把多項式跟群論關聯起來，這就是域論的主要研究領域。

所以理解分裂域這個概念，第一步你應該想到這個域就是多項式這個內容放到群倫的框架中進行研究。研究多項式當然就是研究它的係數。所以我們說一個多項式屬於一個域，也就是說它的係數全部都在這個域中。這時群論的威力就要發揮出來了。別忘了群的四個基本要求，更別忘了域又加了3個要求。也就是說，不光是係數，就連繫數之間通過運算得到的結果也全部在群裡，或者說在域裡。這時我們定義域中的兩個運算就是加法和乘法運算。用一句話概括就是，多項式屬於的域包括了所有這個多項式的係數以及係數之間通過加法，乘法運算得到的數值，而且由於有逆元的存在，所以連除法得到的運算值也包括在這個域中了。

這樣我們就向證明5次方程沒有根式解邁出了堅實的一步，因為我們把係數以及包括係數的加減乘除運算得到的結果組合在一起了。伽羅華群論的偉大之處就在於此。一個小小的4個條件（或者準確地說7個條件）就把代數方程的係數組織在一起了，所以千萬不要小看群的威力。這時你可能會問，那麼方程的根怎麼辦？也就是說多項式的零點怎麼辦？回答這個問題，分裂域就要出場了。

伽羅華當然不僅僅是把多項式的係數組織起來，他是要解決5次方程沒有根式解這個大難題。打個不太恰當的比方，多項式係數被整合在一起就像天才的皇帝組成了一隻軍隊，他還要訓練這個軍隊，讓這隻軍隊幫他得到天下。對伽羅華來說，就是要處理多項式係數組成的域，最終證明5次方程沒有根式解。他的第一步就是把多項式的零點（也就是代數方程的根）引入係數組成的域，這個域就是分裂域。

現在偉崗可以給出正規分裂域定義了（還是來源於《抽象代數—理論，問題與方法》一書）：設F是一個域，多項式f(x)屬於F[x],K是F的擴域，如果f(x)在K[x]中能分解成一次因式的乘積，而對K與F的任何一個其他中間域L，f(x)在L[x]中都不能分解成一次因式的乘積，則域K稱為多項式f(x)的分裂域。

這個定義又是很多坑，這也是按照教科書無法學習群論的一個理由。F(x)屬於F[x]好解釋，表明多項式f(x)的係數組成F這個域。擴域又是一個需要思考的定義。為什麼不直接把多項式的零點跟多項式組合成一個域，而採用擴域的方法？偉崗淺顯的理解是，F這個域有時候只有有理數，而零點有時是複數，這樣把零點跟多項式的係數混在一起，會比較混亂。當然分開的目的還是為了後來證明5次方程沒有根式解，只是偉崗沒有看出直接的邏輯關係（指分開跟證明的直接關係）。

這時很多同學可能會有點暈，這個定義中我們沒看到多項式的零點啊！實際上一次因式就是多項式的零點。也許下面的引理說得更直白一些（引理也是來源同一本書）：設F是一個域，多項式f(x)屬於F[x]。如果K是f(x)的分裂域，f(x)=a(x-a

₁)(x-a₂)……(x-a_n),則K=F（a₁,a₂,……a_n）。

這個描述也比較教科書化，要理解還是需要思考。簡單一點講，K就是多項式零點的擴域，也就是在F的基礎上，加上多項式的零點。

多項式係數組成的域，加入了多項式的零點，這離證明5次方程沒有根式解又近了一步，當然差距還非常的大。但是難點已經顯露。關鍵是域怎麼擴？還有分裂域中L引進的原因和理由是什麼？同時還有一個難題，那就是分裂域是不是唯一的？這同時引發一個基本的思考，什麼才叫兩個域相等？這一些的理解還需要從群論的基礎聊起，我們暫且放在一邊。