自《理論物理學的第一堂課》和《第二堂課(上)：進入奇異的量子世界》更新後，不時的有讀者催更。今天我們將進入第三堂課：統計力學。由於涉及到一些不那麼基本的數學概念，日後將不再「原理」更新後幾堂課。如果你對電動力學、粒子物理學、廣義相對論和宇宙學感興趣，可掃文末二維碼關注「新原理研究所（id：newprincipia）」，持續關注後幾堂課的更新。
今天，我們將探討“熵”和“熱力學第二定律”。這是非常重要的概念，因為這將解決關於我們生活的世界的深刻問題，例如為什麼我們只能記住過去，而不是未來。它還跟信息理論、計算、甚至是黑洞物理學有關。在今天探索的過程中，我們還將遇到科學中最重要的公式之一。
多而不同
假設你已經掌握了理論物理學的一切——你知道所有的自然基本定律、基本粒子的性質以及粒子之間的相互作用。現在問題是，你要如何將這些知識轉化為對我們周圍世界的理解？
讓我們來思考以下這杯水：
在這杯水中，包含了大約1024個原子。事實上，任何宏觀物體都包含著如此巨大的粒子數量。那麼，我們要如何描述這樣的系統呢?
寫下所有1024個粒子的運動方程，並對它們求解？——這種方法肯定是不切實際的。即使我們有能力處理這樣的計算量，我們又如何處理計算結果？要知道我們對單個粒子的位置並不感興趣。我們想要知道的是與宏觀物體有關的更基本問題的答案。它是溼的？是冷的？是什麼顏色？如果加熱它會發生什麼？如何從物理學的基本定律來回答這些問題？
統計力學就是一門將微觀物理定律轉化為對宏觀日常世界的描述的藝術。當我們把1024個粒子放在一起時，有趣的事情就發生了。多而不同——有一些關鍵的概念在基本的物理定律中是看不見的，只有在我們考慮大量的粒子集合時才會出現。溫度就是一個簡單的例子。這顯然不是一個基本的概念——談論單個電子的溫度毫無意義。但在我們生活的世界，溫度扮演著重要的角色。時間是另一個例子：過去與未來的區別是什麼 ？讓我們從這裡開始今天的探索之旅。
未來與過去的區別
自然界中充滿了不可逆轉 的現象：它們易於發生，卻又不可能以相反的順序發生。例如掉在地上的雞蛋會破碎，但不太可能會“破蛋重圓”。事情總是朝著一個方向發展，而不是另一個方向。我們記得過去，卻不記得未來。
這種不可逆性和時間之箭究竟從何而來？它被譜寫在了微觀物理定律中嗎？微觀定律能區分過去和未來嗎？問題聽上去並不簡單。事實上，物理學的基本定律是完全可逆的。這裡舉一個大家都熟悉的例子，牛頓定律在描述現實世界方面異常成功，它解釋了為何蘋果會從樹上落向地面，以及為何地球會圍繞太陽運行。但是，牛頓定律存在一個奇怪的問題，那就是在這一體系下，這些事件在逆轉的時間內運轉也一樣成立。因為牛頓方程的任何解都可以反推，並仍得到一個解。換句話說，無論行星是繞著恆星朝一個方向還是另一個方向轉，都只是涉及到初速度的問題。萬有引力定律是時間可逆的。類似地，電和磁的定律也是時間可逆的。所有的與創造我們日常體驗相關的基本定律皆是如此。物理學定律似乎根本就不在乎時間是向前流逝還是倒流回去。
那麼，過去和未來的區別究竟在哪裡？可逆的微觀定律如何導致明顯不可逆的宏觀行為？要理解這一點，我們必須引入概念——
熵（Entropy）。
熵和第二定律
事情總是變得更糟
我們從熵的模糊定義開始，它表示了系統的無序量。粗略地說，我們所說的“有序”是一種有目的安排態，而“無序”是一種隨機態。例如，將冰塊放入一杯水中。這就形成了一種高度有序的，或者說低熵的結構：一個角落裡是冰，其他的是水。讓冰塊在角落中自身自滅，它會慢慢地融化，最終冰分子會和水混合：
最終的混合態就沒那麼有序了，或者說處於高熵的狀態。
同樣地，咖啡和牛奶的自然傾向是混合，而不是分離：
熱力學第二定律總結了這些生活中的基本事實：
一個孤立系統中的熵總是在增加。
對於19世紀末的物理學家而言，第二定律是個嚴重的悖論。他們知道微觀物理定律是時間可逆的。所以如果熵既然可以增加，那麼根據物理定律它也必須可以減少。但是，生活經驗卻告訴並非如此。熵總是增加的。
概率
就在這時，天才路德維希·玻爾茲曼登場了。他意識到，第二定律與牛頓的引力定律或者法拉第的感應定律並不一樣——它是一個概率性的定律！試想一下，當你將一枚硬幣拋一百萬次的時候，你會得到一百萬個“正”嗎？——顯然不太會。但這可能嗎？——是有可能的，它並沒有違反任何物理定律。可能性大嗎？——非常小。而這正是玻爾茲曼對第二定律的闡述：與其說熵不會減少，不如說
熵可能不會減少。
換句話說，熵可以減少，只是非常不可能。這就是1個（或者幾個）和1024個的區別再次重要的地方。少量的粒子相比於1024個粒子更有可能自發的做一些瘋狂的事情。第二定律出現在大量的粒子中。
這也意味著如果你等待的時間足夠長，你最終會看到熵減少：
- 在偶然的機會下，粒子和塵埃會聚集在一起，形成一個完美組合的炸彈。但是，這需要多長時間呢？很長很長的一段時間。比連續拋一百萬個正面的時間還要長得多，甚至比宇宙的年齡還要長得多。
- 想象一下，往一杯水中滴了一滴黑墨水。墨水擴散開來，最終使水變成灰色。一杯灰色的水會再次變得清澈，併產生一小滴墨水嗎？這並非不可能，但也不太可能。
- 在你身處的房間中，空氣均勻地分佈著。有沒有可能所有的空氣分子都在房間的一個角落裡聚集起來，而剩下的都是真空嗎？這也並非不可能，但也不太可能會發生。
計數
到這裡，一切聽起來都可能有點哲學意味，現在就讓我們把事情變得更加精確一些。首先我們要給出三個相關概念的定義：微觀狀態、宏觀狀態和統計熵。
作為一個具體的例子，考慮一個盒子裡的N個粒子的集合。如果一個粒子在盒子的左半邊，我們說它處於態L；如果在右半邊，我們說它在態R。
我們通過列出每個粒子的狀態（無論是L還是R）來指定系統的微觀狀態。例如，N=10個粒子，幾個可能的微觀狀態是：
可能的微觀狀態的總數為2N（每個粒子有兩種可能）。對於N=1024個粒子，這將是一個非常大的數字。幸運的是，我們從來不需要列出所有可能的微觀狀態。所有的宏觀性質只取決於左右粒子的相對數量，而不取決於哪個粒子在左、哪個粒子在右這種細節。
現在，我們定義系統的宏觀狀態：
那麼在一個給定的宏觀狀態中，有多少個微觀狀態？我們還以N = 10為例。對於n = 10和n =−10的情況，它們各自只對應一個唯一的微觀狀態——粒子全在左邊和粒子全在右邊。對於n=8（9個在左邊，1個在右邊），就有10種方式將這10個粒子的一個粒子放在右邊，其他9個放左邊，所以我們得到10個可能的微觀狀態。對於n = 0（左和右的數量相等），我們得到252個微觀狀態。每個宏觀狀態的微觀狀態數的完整分佈如下圖所示:
現在，設W(n)是使N個粒子在左邊有NL個粒子，在右邊有NR個粒子的方法數。我們可以得到：
□ 符號“！”代表階乘，比如4!=4×3×2×1。
要對非常大的N求階乘，你的計算器可能會想罷工。此時，正態分佈是一個很好的近似
到目前為止，我們只涉及到了基本的組合學。在此基礎上，我們補充了統計物理學的基本假設：
每個微觀狀態都有相同的可能。
因此，由更多微觀狀態組成的宏觀狀態更有可能出現。接著，玻爾茲曼將特定宏觀狀態的熵定義為微觀狀態數的對數
其中k=1.38 × 10-23J K-1是玻爾茲曼常數。玻爾茲曼常數的作用就是使單位正確。這個方程無疑是所有科學中最重要的方程之一，與牛頓的F=ma和愛因斯坦的E=mc²平起平坐。它連接了原子的微觀世界（W）和我們觀察到的宏觀世界（S）。而這正是我們所尋找的！
根據統計力學的基本假設（每個微觀狀態都具有相同的可能性），我們期待系統自然地向與大量微觀狀態對應的宏觀狀態發展，因此擁有更大的熵
此時，我們已越來越接近於對第二定律的微觀理解。
時間的箭頭
有了這個視角，我們現在回到一個問題：由許多粒子組成的系統的宏觀特徵，是如何隨著單個粒子的運動結果而演化的？
現在，將一個盒子用隔板分成相等的兩格，隔板上有一個洞。氣體分子可以在盒子的內側反彈，且通常會從中間的隔板反彈，但每隔一段時間它們就會其中的一格溜到另一格。例如，我們可以想象，在1000次分子與中間隔板的作用中，995次會從隔板上彈回，還有5次它們穿過了洞並跑到了另一格。所以，每一秒鐘，在左邊格子的每個分子都有99.5%的機會停留在這一格，0.5%的機會跑到另一格，右邊格子中的分子也有著相同的經歷。
這個規則是完美地詮釋了時間反演不變性 ——如果你製作了一個視頻，來顯示一個遵循該規則的粒子的運動，你就不能分辨它是在時間的方向上朝前還是向後移動。在單個粒子的層面上，我們無法區分過去和未來。
然而，讓我們從一個更宏觀的角度來看這個演變過程：
盒子裡有N = 2000個分子，從時間t = 1開始，左邊有1600個分子右邊只有400個。接著會發生什麼並不奇怪：由於左邊的分子更多，所以從左到右的分子總數通常會大於從右到左的分子總數。50秒後，數字開始趨於相等，200秒後，分佈基本相等。這個盒子清楚地顯示了一個時間箭頭。這和冰塊融化或者牛奶在咖啡中擴散是完全一樣的。
很容易可以看出，這與第二定律是一致的。運用上述提到的W(n)和S的兩個公式，我們可以在任何時刻將熵與系統聯繫起來。熵的演化圖看起來就像這樣：
熵與信息
麥克斯韋妖
1871年，麥克斯韋提出了一個著名的思想實驗來挑戰第二定律。
這個思想實驗的裝置和之前一樣：一盒氣體被隔板一分為二。然而，這一次，洞口處有一扇可控制的小門，可以在無需消耗明顯能量的情況下被打開和關閉。盒子的每一邊都包含有相同平均速度（即相同速度）的等量分子。我們可以把分子分為兩類：移動速度比平均速度快的分子，我們稱它們為紅色分子；移動速度比平均速度慢的稱為藍色分子。一開始，氣體是完全混合的（兩邊紅色和藍色的數量相等，即最大熵）。在門上坐著一個惡魔，他盯著從左邊來的分子。每當他看到一個快速移動的紅色分子靠近洞口時，他就會把門打開。當分子是藍色的時候，他就緊閉著門。通過這種方式，惡魔“分離”了紅色和藍色的分子，盒子左邊變得更冷，右邊變得更熱。我們可以運用這種溫差在不需要輸入任何能量的情況下來驅動發動機：一臺永動機。顯然，這看起來違反了第二定律。究竟發生了什麼？
麥克斯韋妖以及它對第二定律的威脅已被爭論了一個多世紀。若要拯救第二定律，那麼在某個地方必須對熵作出一個補償性增加。熵能進入的只有一個地方：惡魔。那麼惡魔在執行他的惡魔任務時會產生熵嗎？答案是肯定的，但是它的運作方式非常巧妙，而且直到麥克斯韋妖被提出的一百多年後，才被西拉德（Leo Szilard）、蘭道爾（Rolf Landauer）和貝內特（Charles Bennett）所理解。這個解決方案依賴於統計力學和信息理論之間的一種迷人聯繫。
西拉德的發動機
1929年，西拉德將惡魔帶入了信息時代。特別是，他指出
信息是物理的。
擁有信息使我們可以從一個系統中運用本不可能的方式提取出有用的信息。通過一種新版本的麥克斯韋妖，西拉德得出了精妙的見解：這一次盒子裡只有一個分子，盒子的兩面內壁被活塞所取代（下圖①）。
一個沒有洞的隔板被置於盒子的中間。分子在其中的一邊，另一邊是空的（上圖②）。惡魔測量並記錄氣體分子在隔板的哪一邊，從而獲取一比特（bit）信息。然後他把活塞推進去，將空的半邊合上了（上圖③）。
在沒有摩擦的情況下，這個過程不需要任何能量。現在請注意信息在此設置中所起到的關鍵作用。如果惡魔不知道分子在盒子裡的哪一半，他就不知道該把哪個活塞推進去。在去除隔板後，分子會與活塞發生碰撞，使一個分子的氣體”膨脹”了（上圖④）。
通過這種方式，我們可以使用系統來做有用的功（例如通過驅動發動機）。那麼，能量從何而來？來自溫度為T的環境中的熱量Q。
當氣體從Vi=V膨脹到Vf=2V時所做的功（W）由熱力學的一個標準公式給出：
最後，系統返回到初始狀態。
這樣，一整個操作週期就完成了。整個過程是可重複的。在循環過程中，每個循環都從周圍環境中提取熱量並將其轉化為有用的功。惡魔似乎創造了第二種永動機。特別是，在循環的每個階段，熵減少了∆S = ∆Q/T （另一個經典熱力學公式）。使用∆Q =−∆W，我們發現
西拉德的惡魔似乎又違反了第二定律。
拯救第二定律
1982年，貝內特觀測到西拉德的發動機並不真的是一個閉合循環。雖然在每個循環之後盒子恢復到它最初的狀態，但惡魔的心智並沒有！他記錄了一比特信息。惡魔需要抹去儲存在他腦中的信息，才能使這個過程真正循環。然而，蘭道爾在1961年就已經指出，信息的刪除必然是一個不可逆轉的過程。尤其是摧毀一比特的信息至少會將這個世界的熵增加
這就是麥克斯韋妖的現代解法：惡魔必須收集並儲存關於分子的信息。如果惡魔的記憶容量有限，他就不能無期限地冷卻氣體；最終，信息必須被刪除。在那一刻，他終於為他實現的冷卻支付了熵賬單。（如果惡魔沒有刪除記錄，或者我們想在刪除之前進行熱力學計算，那麼我們應該將一些熵與記錄的信息聯繫起來。）
熵與黑洞
信息丟失了嗎？
黑洞——宇宙中最奇妙的存在。它的引力是如此的強大，以至於連光進入到它的掌控範圍都無法逃脫。黑洞的基本結構包括了隱藏在一個事件視界內的奇點。在事件視界內，逃逸速度（V逃逸）超過了光速（c），因此一旦物體落入就永遠被困住了。
每個黑洞都只需要用三個數字描述，即質量、自旋和電荷。無論黑洞是如何形成的，所有的信息都被簡化為這三個數字。用一句話可總結為：
黑洞無毛。
這意味著，如果我們把一本書扔進黑洞，它會改變黑洞的質量（可能還有自旋和電荷），但所有關於書的內容的信息看起來都永遠消失了。黑洞真的摧毀了信息嗎？它們摧毀了熵嗎？它們違反了第二定律嗎？
黑洞熱力學
如果黑洞自身具有熵，並且當物體落入黑洞時熵增加了，那麼第二定律就可以被挽救。1973年，普林斯頓大學的研究生貝肯斯坦（Jacob Bekenstein）認為，這確實是解決方案。事實上，在黑洞的演化和熱力學定律之間，存在一些非常有意思的類比。例如熱力學第二定律表明，熵永遠不會減少；而黑洞的質量也同樣（或等同於事件視界的面積A=4πr²∝M²）從未減少。將一個物體扔進黑洞，黑洞就會變大。貝肯斯坦認為，這不僅僅是一個簡單的類比。他推測，黑洞的熵實際上與它們的大小成正比：
霍金輻射
當霍金聽到這樣的想法時，他認為這太瘋狂了！如果黑洞有熵，也有溫度，就可以證明它們必須釋放輻射。但是人人都知道——黑洞是黑的！
因此，霍金打算證明貝肯斯坦是錯誤的，但結果他失敗了！相反，他發現的結果相當驚人：黑洞不黑！它們確實會發出輻射，也確實攜帶著大量的熵。
量子力學是理解這一點的關鍵：在量子力學中，真空是一個有趣的地方。根據海森堡的不確定性關係，沒有什麼是完全空的。
相反，粒子和反粒子對可以在真空中自發出現：
然而，它們只是虛粒子，只能在彼此
湮滅之前存在一段非常短暫的時間。
如果粒子-反粒子對碰巧在黑洞的事件視界附近產生，故事的走向就會被完全改變。在這種情況下，這一對中的一個可能會墜入黑洞，永遠消失。而失去了湮滅夥伴的第二個粒子將變成真實的：
黑洞外的觀測者將以霍金輻射的形式探測到這些粒子。
通過分析這一過程，霍金證實了貝肯斯坦的猜測。事實上，他做的遠遠不止這些。他還推導出了黑洞熵的精確表達式：
公式中的lp是普朗克長度，在這個尺度下，量子力學和引力效應變得同樣重要。普朗克長度為：
黑洞熵方程是一個非常重要的公式：它把熵和熱力學與量子引力聯繫了起來。因此，這是關於統一引力和量子力學的最重要的線索。
弦理論中的黑洞
玻爾茲曼熵理論的巨大成功在於，他能夠用微觀成分的計數來解釋可觀測的宏觀數量——熵。霍金關於黑洞熵的公式似乎在告訴我們，與任何特定的宏觀黑洞相對應的微觀狀態有很多：
這些微觀狀態是什麼？它們在經典引力（黑洞無毛）中並不明顯。最終，它們一定是量子引力的態。弦理論在這方面取得了一些進展，弦理論是量子引力的最佳候選理論。1996年，Andy Strominger和Cumrun Vafa從弦理論（弦和高維膜）自由度的微觀計數中得到了黑洞熵。他們恰好得到了黑洞熵的方程，包括重要的因子：1/4。
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