今天為大家解讀一本書，叫做《數學思考法》，副標題《解析直覺與謊言》，這是一本人民郵電出版社今年出版的新書。作者是日本東北學院教授神永正博先生，1967年出生於東京，理學博士，主要研究方向是量子力學基礎方程式的薛定諤方程及密碼理論。
本書作者開篇就講“數學研究和現實生活，乍一聽好像是兩個完全不相干的世界，但在某種意義上，也可以認為兩者都處於同樣的境遇。”本書看似是一本科普讀物，實際上是站在數學領域的核心地帶—數學思想層面，去思考問題的本質。對當前學校教育崇尚素質教育，抓好數理學科基礎拓展有很大幫助和指導意義，因為在數學領域裡沒有所謂“直覺”這樣的捷徑。
這也可以說是作者在本書中傳遞的一種關於數學思考的思想精髓。真正的天才能受人矚目，一定是因為他進行了大量的思考和研究工作。最終能夠通往正確答案的唯一道路就是韌性，堅韌、堅持和堅毅。
在數學面前，威權主義也無能為力，世界上還有比這更直白的嗎？同樣，投資也沒有捷徑，生活也如是。因為數學研究對所有人來說都是平等的，學會用數學思考法解決各種顛覆直覺的問題，獲得這樣的認知，善莫大焉。
投資與數學思考法
在正式解讀這本書之前，我先跟大家做個本書的閱讀心得：為什麼投資需要數學思考法。
本書結尾處提到“所謂專家，就是在其所研究的有限領域內犯過所有能犯的錯誤的人”。從這點來講投資確實如此，因為它讓我們懂得如何吸取一些專家所犯過錯誤的教訓。
全書分4章，從數據，概率，圖形和定理出發，通過數學思維解析實際生活案例，公眾認知中錯誤直覺，數學經典名題等方式，由淺入深地傳授了分析數據信息價值，辨別謊言，拆解轉化複雜問題，抓住事物本質思考方法，可有效提高理性思維，判斷與解決問題能力，理解數學，培養數學興趣亦有益啟示。
那我會將這四部分，用數學思維三部曲重新做一個劃分解讀，即：類比聯想思想、構造思想和分類討論思想，希望對大家的理性生活和投資有裨益。
類比聯想思想
類比思想是數學創造型思維中很重要的一種思想方法，通過觀察、研究事物之間的聯繫發現事物之間的異同，以此來聯想推斷出我們研究的領域也具有相同的屬性或關係。
比如本書提到的一些具體的，發生在你我身邊的例子。
首先，我們知道，現在日本經濟不景氣的新聞充斥著全球媒體，每天日本人聽到的都是負面消息，但認真思考的話，日本經濟真的那麼不景氣嗎？
在作者舉的例子中找到了這樣一個數據：年收入1000萬日元以上，年收入500-1000萬日元、年收入500萬日元以下的三個階層，人均年收入呈上升趨勢。
這是不是可以說明日本經濟已經復甦了呢？
為使分析過程更簡明易懂，作者先簡單地把一國的國民劃分為“高收入群體”和“低收入群體”，兩類群體的分界點是年收入500萬日元。假設這個國家一共由4個人組成，他們的年收入分別是1400萬日元、600萬日元、300萬日元、200萬日元。
在這種設定下，可以算出各個群體年收入的平均值，高收入群體平均值為1000萬日元，低收入群體的平均值為250萬日元。
但是，經濟不景氣使得所有人的收入都減少了20%，於是，高收入群體中相對收入較低的、年收入600萬日元的人就不再符合標準，需要被劃分到低收入群體中進行統計。
結果，高收入群體中僅剩下原本年收入1400萬日元的統計對象，年收入減少20%後為1120萬日元。同時，低收入群體由於增加了樣本，統計對象變為3人，原本年收入600萬日元的統計對象，減掉20%後年收入為480萬。以至於，整個低收入群體的年收入平均值，上升為293.3萬日元。
從這個結果來看，雖然所有人的收入都下降了20%，但是列入統計的兩個群體，其整體的年收入平均值都是上升的。
所以，我們再來看看最開始的那個例子，三個階層，人均年收入均呈上升趨勢。但我們現在知道了，僅憑這一點不能斷言日本的經濟復甦了。
在某個條件下的兩組數據，分別討論時都會滿足某種性質，可一旦合併考慮，卻可能導致相反的結論。在數學領域中，這種現象被稱為辛普森悖論。
我們還可以舉另外一個例子來說明這種現象。
假設我們分別對美國本地學生、赴美留學生兩個群組進行英語水平測試——當然這個案例中的數據都是虛擬的，但不影響我們的分析。
將1990年的測試成績與2010年的數據進行對比發現，美國本地學生和赴美留學生的平均成績分別增長了4分、10分。從結果上看，大家可能會同意這個結論——兩組學生這20年的英語水平都得到了提升。
但是，整體的平均成績2010年比1990年下降了2分。這中間是哪裡出錯了呢？
其實，這裡並沒有錯誤，這種違揹我們直覺的現象，在現實生活中很有可能出現。具體到這個案例中，很重要的一點是要弄清楚接受測試的美國本地學生和赴美留學生的比重。為了方便計算，我們在這裡把兩個群組的總人數設定為100人。那麼在1990年進行測試的時候，接受測試的美國本地學生應為80人，留學生為20人。這樣整體平均分為84分。
與此相對，2010年測試中，美國本地學生人數為50人，留學生也是50人。這樣整體平均分為82分。
從英語測試成績來看，無論是1990年，還是2010年，結果都是“美國本地學生的分 > 赴美留學生得分”。從人數上看，1990年的測試中，美國本地學生人數達80人之多，而接受測試的留學生只有20人。
所以，儘管兩個群組的平均成績在20年後的測試中都上升了，但這種上升幅度並沒有抵消“成績較好的群組”，即美國本地學生的樣本人數減少帶來的影響，從而導致在整體平均分上，2010年反而下降了2分。
這些比率的魔法棒，平均值陷阱等都是指憑藉不完整的信息而對整體做出錯誤的判斷。
這也是我剛剛給大家陳述的類比思想。社會中充滿了抽象的類比，錯誤的直覺導致錯誤的結論，形成群體無知，盲從，以此來指導行為的話，甚至可以說害人不淺。
比如書中舉了一個例子，癌症篩查。
例子的主人公，我們叫他M先生吧，拿到體檢報告時，發現胃部X射線檢查那一欄寫著，“需詳細檢查”。M先生上網搜索了一下，發現世紀罹患癌症的病人，在初期篩查時，有將近90%的人都被醫生給出了“需詳細檢查”的診斷結論。這豈不是說明他患癌症的概率非常高？然而事實是否如此呢？
這個案例中，有個非常重要的、關於概率的數字，就是被診斷為“需詳細檢查”的病人實際上真得了癌症的概率。
首先，我們需要做一些假設。
假設1:每接受檢查的1000人中，有1個實際患了癌症。
假設2:患癌症的病人，在篩查時被診斷為“需詳細檢查”的概率為90%。
假設3:實際上並沒有患癌，但因為在篩查時出現陽性反應而被要求進行詳細檢查，這種情況的概率是10%。
事件A在另外一個事件B已經發生的條件下的發生概率，就叫做“條件概率”，在被診斷為需詳細檢查的前提條件下，該病人確實患了癌症的條件概率是多少？
如果完全憑直覺來看的話，M先生應該是超過50%的吧。靜下心來，我們一步步思考下。
我們將剛剛的假設條件1.2.3拆解開來。
假設1中，每1000人中只有1個實際患了癌症，也就是發病率為0.1%。
假設2中，患癌症的病人被診斷為“需詳細檢查”，即化驗呈陽性的概率為90%。
假設3中，實際上並沒有患癌，但被誤診出現陽性反應，即假陽性情形發生的概率是10%。
推理一下，確實患有癌症，並化驗結果呈陽性的概率，計算結果是0.1%✖️90%=0.09%。而沒有的癌症，但化驗結果陽性的誤報概率是99.9%✖️10%=9.99%，即“未患癌症的概率”✖️“未患癌症但陽性反應的概率”。
化驗結果呈陽性的概率，則是兩者之和，0.09%+9.99%=10.08%。在所有呈陽性反應的人中，實際患癌症的概率為0.09除以10.08，結果約為0.9%。
也就是說，M先生患癌症的概率，其實還不到1%。
再回到專業的數學領域，類似我們在上文中進行的這種邏輯思維推理方式，被稱為“貝葉斯定理”，一般的邏輯是從事件的原因推導出結論，而貝葉斯定理相反，從結論逆向推導原因。
貝葉斯定理推導出的結論經常會讓人覺得很意外，與自己的直接判斷大相徑庭。只關注個別的概率，而忽視了整體概率，這就是我們總是難以看清事物本質的原因。
書中提到的“生日悖論”，現實生活中我們有時會驚訝地發現“這兩個人的生日是同一天啊！”好像因為這個巧合兩個人的命運就有了必然的聯繫一樣。其實，數學與生活又開了一個玩笑，隨意主觀聯想會讓我們得出可笑的結論，比如，認為兩個人生日相同是並不常見，不太可能的緣分，實際發生的概率要高達50.7%。“生日悖論”現象告訴我們，僅憑自己的直覺估算概率是不可取的，運用數學知識認真計算非常重要。
上述我們提到的這些例子，關於對常識的偏誤，在投資中是不是也遇到過呢？
俗話說，“佔小便宜，吃大虧”，比如最近不斷爆雷的P2P，每月固定利息返還，後續資金鍊斷裂，本金都收不回來了，一些平臺老闆也跑路了，這種現象就是偏離了常識，大概率的擊中了人性的弱點——貪婪。
同樣，還有我們經常接到的薦股電話，騙子玩的也是概率遊戲，隨機選取10只股票，向10萬個客戶進行推薦，最後有一隻股票漲停，就有上萬人相信，隨後成為了騙子待宰的羔羊了。
閱讀更多 萬奧 的文章
