三角形作為幾何王國當中最基本、最重要內容之一,在整個中學數學內容中,佔據很重要的位置。我們認真研究和分析很多幾何綜合問題,發現這些大題,都能拆分成若干個三角形,如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等,學會運用這些特殊三角形的性質去分析問題和解決問題。
舉個簡單的例子,任何一個與四邊形有關的問題,我們只要做出對角線等,就可以構造一些三角形,此時綜合運用它的性質和定理,就能順利解決問題。
中考除了考查大家掌握必要的知識內容和方法技巧之外,更加考查考生運用知識分析問題和解決問題的能力。因此,在中考數學試卷當中,除了基礎題之外,還有一些與三角形有關的綜合應用問題,像三角形有關的動態綜合問題。
典型例題分析1:
如圖,矩形ABCD中,點P是線段AD上一動點,O為BD的中點,PO的延長線交BC於Q.
(1)求證:OP=OQ;
(2)若AD=8釐米,AB=6釐米,P從點A出發,以1釐米/秒的速度向D運動(不與D重合).設點P運動時間為t秒,請用t表示PD的長;並求t為何值時,四邊形PBQD是菱形.
考點分析:
相似三角形的判定與性質;全等三角形的判定與性質;勾股定理;菱形的性質;矩形的性質;證明題;動點型。
題幹分析:
(1)本題需先根據四邊形ABCD是矩形,得出AD∥BC,∠PDO=∠QBO,再根據O為BD的中點得出△POD≌△QOB,即可證出OP=OQ.
(2)本題需先根據已知條件得出∠A的度數,再根據AD=8釐米,AB=6釐米,得出BD和OD的長,再根據四邊形PBQD是菱形時,證出△ODP∽△ADB,即可求出t的值,判斷出四邊形PBQD是菱形。
解題反思:
本題主要考查了矩形的性質,在解題時要注意與全等三角形、矩形的知識點結合起來是解本題的關鍵。
這道動點問題難度不大,只要考生掌握好相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等,就能正確解決問題。
我們都知道,動點問題之所以會難,主要在於它能把很多知識內容結合在一起,形成不同類型的動點綜合問題,如函數動點綜合問題、代數動點綜合問題、函數與幾何動點綜合問題、幾何動點綜合問題等,而幾何動點綜合問題細分的話,又可以分出四邊形動點綜合問題、三角形動點綜合問題、與圓相關的動點綜合問題等。
典型例題分析2:
如圖,在平面直角座標系中.四邊形OABC是平行四邊形.直線l經過O、C兩點.點A的座標為(8,o),點B的座標為(11.4),動點P在線段OA上從點O出發以每秒1個單位的速度向點A運動,同時動點Q從點A出發以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動,過點P作PM垂直於x軸,與折線O一C﹣B相交於點M.當P、Q兩點中有一點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設點P、Q運動的時間為t秒(t>0).△MPQ的面積為S.
(1)點C的座標為 ,直線l的解析式為 .
(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數關係式,並寫出相應的t的取值範圍.
(3)試求題(2)中當t為何值時,S的值最大,並求出S的最大值.
(4)隨著P、Q兩點的運動,當點M在線段CB上運動時,設PM的延長線與直線l相交於點N.試探究:當t為何值時,△QMN為等腰三角形?請直接寫出t的值.
考點分析:
二次函數綜合題;代數幾何綜合題;數形結合;分類討論。
題幹分析:
(1)由平行四邊形的性質和點A、B的座標便可求出C點座標,將C點座標代入正比例函數即可求得直線l的解析式;
(2)根據題意,得OP=t,AQ=2t,根據t的取值範圍不同分三種情況分別進行討論,得到三種S關於t的函數,解題時注意t的取值範圍;
(3)分別根據三種函數解析式求出當t為何值時,S最大,然後比較三個最大值,可知噹噹t=8/3時,S有最大值,最大值為128/9;
(4)根據題意並細心觀察圖象可知;當t=60/13時,△QMN為等腰三角形.
解題反思:
本題是二次函數的綜合題,其中涉及的到的知識點有拋物線最大值的求法和動點問題等知識點,是各地中考的熱點和難點,解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用,同學們要加強訓練,屬於中檔題.
與三角形有關的動點問題,主要抓住三角形裡的一些不確定因素,如等腰三角形、相似三角形等,需要對邊與邊之間的關係進行分類討論。同時,在解決問題過程中,或許還要添加輔助線,這個也是讓很多考生頭痛的地方。
{!-- PGC_COLUMN_CARD:{"thumb_url":"http://p6.pstatp.com/large/a1480006305d40f07482","title":"動態綜合問題視頻課程","author_description":"吳國平數學教育-數學教育專家、作家。","price":30,"sold":1,"column_id":"1609430058206216"} --}
閱讀更多 吳國平數學教育 的文章