一．問題解決的要義
問題解決的過程，就是指綜合地，創造性地運用各種數學知識去解決那種並非單純練“習題式的問題”的過程，其中包括實際問題和源於數學內部的問題，也就是波利亞稱為的具有挑戰性的問題。我們以問題解決作為數學教育的中心即要努力幫助學生學會“數學地思維”。
“問題是數學的心臟”，問題的解決過程與一個人的科學素質，即與知識因素---知識與方法；智能因素---智力與技能；育人因素---觀念與品質，存在著密不可分的聯繫。
總之，概括成一句話就是：通過問題解決教學，我們所要達到的目的就是---開發智力，發展能力，提高科學素質。
運用問題解決的方法開發智力，在實際運用中效果不盡相同，即使對同一個班級在相同的教學條件下效果也是不盡相同的，可見與每個個體的因素有關。在這裡，一個值得重視的問題是：“為什麼有些具有專門知識的人能有效地應用他們的知識，而另一些具有同樣知識的人應用起來卻不那麼有效”？換言之，在“知識X心理能力=分析問題與解決問題的能力”的動態平衡中，需要加入什麼“催化劑”，才能對廣大教育個體大面積地提高動態平衡的水平呢？我們從腦科學與人工智能科學方面進行某些探索可能會有所收益。我們相信，通過對有關程序操作的研究，能夠深入地瞭解人腦的機理的本質，從而促進智力開發。
二．頭腦編程及其應用
20世紀50年代以後，計算機科學的飛速發展，為心裡學分析和推斷心理過程提供了一個重要工具。西蒙等人在50年代後期發表了一系列論文以表明可以利用計算機模擬各種心理現象。因而心理學的許多問題都可以根據信息加工系統予以闡明。
人被看成信息加工者，憑藉信息加工模式，能把格式塔信理學關於認知和記憶重組的某些推測，用一種類似計算機程序的方式編制出來，即頭腦編程。這為研究心理過程和心理結構提供了物質基礎，也為進一步開發智力提供了科學的依據。
西蒙指出，能夠迅速接通長時期記憶中的信息的索引項通常稱之為組塊。認知科學的研究表明，知識在人的頭腦中並不是散亂儲存的，而是以“組塊(chunk)”的形式分類儲存的。面對新的問題時首先要確定“類別”，然後對“組塊”檢索，使有關的“組塊”作為有用知識調動起來，從而為解決面臨的問題提供必要的基礎，在這個意義上講，數學是一種模式的科學。
我們認為，數學教育的方法可以“頭腦編程”的觀點用思維訓練和一定知識塊武裝頭腦，使能在意想不到的時間“觸發”意想不到的創造力。即利用頭腦的自然功能，用多種方法，再以不同“軟件”，以發揮頭腦的最大潛能。
基於以上分析，我們可以猜想：在大體相同的條件下，學生智力的差異應該主要反映在“組塊”數量，合理儲存以及組塊選擇，重新組合的反應速度的不同。
為了驗證以上猜想，曾有某中學初三學生30人作為測試對象，其中8人為優等生，另外22人為中等生。
測試共6個問題，2道智力遊戲題，4道平面幾何題，用於考察學生的探索能力，創造能力，轉換策略能力等。
對30名同學同時進行限時1.5小時的筆試，要求寫出每題的解答思路及完成時間。試後，主試與被試認真進行交談分析，請被試回顧自己的思路及變化過程。30名被試解答6個題的成績如下表，“√”表示做出，“⊙”表示做出一半，“X”表示未解出答案。
被試（對象）在同一學校同一年級學習三年可視為條件基本相同，其優等生與中等生是數學老師根據三年成績，對他們的評價應是客觀的。
從表中可見，對初等難度的2，5兩題，優，中等生差異不明顯；而在中等難度1，3，4題中差異顯著。對此三題的解法考查，發現三個優等生所用方法與標準答案不同。他們在選擇，組合種種信息方面的速度與質量超越於中等生。對於上等難度的6題，只有兩名優等生做出，與中等生的差異是顯著的。
在與被試交談後，得出如下結論：優，中等生成績差異的主要原因在於組塊的區別及調節策略的應用。
1. 組塊數量有所差別
22名中等生中，多數反映一旦遇到陌生題，便不知從何入手，無法檢索相關信息，調動有用的知識，常以失敗告終，總有“書到用時方恨少”的感覺，而優等生表示選擇的途徑總有一二，可以有根有據地解題。
2. 組塊質量，及組塊的合理儲存方面差異顯著
決定組塊質量地是組塊結構關係的優劣。換言之，組塊結構清晰，層次分明，成功的可能性就大。被試A同學反映，自己在解決問題方面最注重搞“最大效益”，即每做完一道題，總是考慮一下曾經學過的知識有哪些可與此相關聯，集成一體而置於記憶中；或者是總結，歸納體中內含的思想方法；或者是將題目推廣。總之，對優等生而言，一道題往往可以引出幾道新題，並一起存入大腦，使組塊結構清晰，層次分明，內容組織化，條理化，從而更善於解靈活多變的問題。而中等生表示很少這樣，總感覺：知識沒少學，不知何時用？該怎樣用？因此，在解題時表示出更多是盲目與衝動，往往在沒有充分考慮“可推論條件”的前提下，就衝動地在考慮如何做輔助線，使問題反而複雜化，結果是欲速不達。
3. 在組塊的選擇與組合方面差異顯著
組塊數量多少，儲存地合理與否必然決定了組塊的選擇，組合的不同。數量多且儲存合理，檢索必然方便，從而組合迅速；反之，很難實現目標。在測試中，個別被試在做出輔助線後，推出的新條件與目標建立不起聯繫，定向差，即反映了組合能力欠佳；又如，雖然優等生，中等生同樣都具備發現複雜圖形中隱蔽圖形的能力，但是中等生與優等生在“生成新圖形”的能力上有明顯差異。中等生只限於做一條輔助線，不能進行再組合，而優等生卻往往考慮兩條，三條輔助線，多角度思考，表現出較強的組合能力。
4. 調節策略方面差異十分顯著
優等生在解題時不僅有一個自身在解題，還會分出一個自我，處於監控地位。只有一身二任，既是操作者，又是監控者，才會又快又準地處理各種信息，完成解題任務。而中等生卻是一個途徑走到黑，不能對自己目前地處境作出清醒地評估而作出必要地調整，仍執意走下去，直到陷入僵局，結果是浪費了很多時間卻無所收益。這一過程對比，可以用以下直方圖顯示其意
此圖表明，倘若忽視調節功效，將會在某個階段（分析）浪費十幾分鍾而一無所獲。這便是優，中等生的主要差別之一。
實驗表明：通過問題解決教學，實際上促進合理形成知識“組塊”以及激活“組塊”的重新選擇和組合，並形成自我監控的調節機制。這個結論向我們啟示，智力是可以開發的，並且是可以科學地開發。過去成長一個智優學生要靠若干年才能摸索到的方法，現在，當對其腦生理，頭腦編程的機制清楚以後，我們就可以用於大面積地培養智優學生，其意義是毋庸置疑的。
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