“牛吃草”問題不太適合孩子奧數
這兩天帶孩子上奧數，講到了牛吃草問題，而且還說這個問題是牛頓提出來的，但我認為這個問題當作奧數給孩子教授，是非常有問題的，會把小孩子的思路帶到溝裡，倒是真的印證了一些妖魔化奧數的人的說法，對這樣的問題，應當及時糾正。
牛吃草問題大致是這樣的：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，期間一直有草生長。如果供給25頭牛吃，可以吃多少天？
給孩子的解題思路大致是這樣的：這片草地天天以勻速生長是分析問題的難點。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天裡，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個條件，把所有頭牛分成兩部分來研究，用其中一部分吃掉新長出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數。
這個問題在我們小時候應用題是不講的，不知道哪一天給小學生當作奧數講了，但這個問題當作奧數，沒有把問題講透，給孩子留下錯誤概念，問題還是很大的。這個問題孩子的解法，給大學數學教授以高等數學的視角看，可能就要開罵了。因為這個草長的一樣快是有歧義的，這個題目的意思實際是每天長出一樣多的草，可不是草長的一樣快！被吃掉的草，當然不能再生長了！你可以想一下如果開始是100棵草一天長出10棵，那個速度是10%，吃到後來剩下10棵草，還是要一天長出10棵，這速度就是100%了，這怎麼是長的一樣快？這是生長速度指數型的增長。
這個問題給小孩子算術怎樣解？代數的方程怎樣解？解法主要考慮的就是草每天增加的數量一樣。其實這個解法與真實的情況差別是巨大的。因為草每天生長的一樣快，但被吃掉的草可不長，每一天長出來的草，應當是前一天剩下來的草按照一個同樣的生長速度同比例的一個增加量，這會出現數列問題。而真正的問題是草生長和牛的吃是連續的，不是數列離散的，這就要變成微積分的內容了。
牛頓提出這樣的問題，明顯的就是一個微分方程的問題。牛頓這個大師，是微積分的發明者，他提出這個問題，原本就是一個微分方程問題，類似的問題我記得是大學時候做過。而且這類似的問題是微積分的一個標準應用問題，可以使用的場合特別多。
對這一個微分方程的問題可以拓展到很多領域，例如如果對應的金融領域，你拿你用錢和利息來計算，就是牛和草的關係：你每天使用的錢是牛吃掉的草，你的錢存在銀行每一天不斷的長利息，就是草在生長，生長速度每天一樣快，就是利率不變。這裡如果這個計算利息的週期是連續的，則（1+1/n）^n，著名的無理數e就要出現了，這是一個與e指數相關問題了。類似的問題，我們金融計算資金收益和財物管理等，是總要用的東西，而且比這個要複雜。
說到這裡，大家就明白這個問題的真實答案不是孩子能夠解決的。這裡與以往的初等到高等數學給孩子在解決問題上的差別是不一樣的。例如：以往小學生用四則運算解決應用題，到中學就是代數和方程，但兩種方法在數學上是等價的，只不過高級的方法更程序化和簡單了。但牛吃草問題給孩子的奧數解法的關鍵問題是：這樣的思路不等價，而且連一個近似的解法都算不上！把指數問題變成線性問題，其中的偏差過大了，按照微分方程的計算結果，會與現在給孩子現行的奧數計算結果有天壤之別。
這個問題其實可以變成孩子們慣用的奧數思路，例如改成在產的工廠加工零件再出售，就沒有上述的問題。因為工廠生產速度與留存的庫存沒有關係；而草的生長是與留有多少草在生長直接相關的。還有出口動態排隊問題，也是很好的。但有些變形會有新問題，題目變形成水龍頭進水出水，都會有一些物理問題（水箱內水壓對龍頭流速有影響），導致與實際情況不一樣。給孩子的應用題不光要貼近生活，更要貼近實際情況，給他們對這個世界建立起正確的數字概念。不能讓孩子腦子裡面的數學模型與真實世界有重大偏差，否則對孩子未來思維和思考整個世界都有不良影響。
如此給眾多孩子用這個不準確的方法做這個牛吃草的問題，給社會帶來的非常有害，因為很多孩子以後未必是要學習那麼深的數學，對這些問題他們不會，總比自己認為會但不對要強太多了。在小學孩子建立對整個世界認知思維的時候，失之毫釐謬之千里，絕對不能有半點偏差。現在很多文科生搞經濟，數學沒有吃透，很多金融領域類似牛吃草的高等數學問題，就是按照現在給孩子講奧數的這種算數思路來解決經濟金融問題的，帶來很多匪夷所思的概念，還認為自己灰常正確。
所以我認為這個牛吃草問題，就要還原成為微分方程問題，從孩子的奧數當中刪除，同時要讓孩子知道類似的問題是一個微積分問題，他現在還不會。知道自己不懂，就是一種進步，反而一知半解，危害最大。所以選定教材和問題非常關鍵，很多奧數被妖魔化的問題，恰恰出在問題的選擇之上，就如把腦筋急轉彎當作奧數一樣，利用你的概念理解偏差來為難你。而這個牛吃草的解法，對本來應當微分方程的問題，利用這個理解上的差異，變成了算數問題，而不是本來就可以簡化為算數問題。所以這樣的問題，孩子奧數課程和考題裡面，還是要回避比較合適。
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