奇异值分解与主成分分析，一文带你理解Spark分布式降维方法

​原理 Spark是一个极为优秀的大数据框架，在大数据批处理上基本无人能敌，流处理上也有一席之地，机器学习则是当前正火热AI人工智能的驱动引擎，在大数据场景下如何发挥AI技术成为优秀的大数据挖掘工程师必备技能。本文结合机器学习思想与Spark框架代码结构来实现分布式机器学习过程，希望与大家一起学习进步～

本文采用的组件版本为：Ubuntu 19.10、Jdk 1.8.0_241、Scala 2.11.12、Hadoop 3.2.1、Spark 2.4.5，老规矩先开启一系列Hadoop、Spark服务与Spark-shell窗口：

降维是减少所考虑变量数量的过程。它可用于从原始和嘈杂的特征中提取潜在特征，或者在保持结构的同时压缩数据。spark.mllib为RowMatrix类提供降维支持。

1.SVD介绍

奇异值分解（SVD）将矩阵分解为三个矩阵：U，Σ和V，使得：

这里U是一个正交矩阵，其列称为左奇异向量，Σ是对角矩阵，其中非对角线按降序排列，其对角线称为奇异值，V是一个正交矩阵，其列称为右奇异向量。

对于大型矩阵，通常不需要完整的因式分解，而仅需要顶部奇异值及其关联的奇异矢量。这样可以节省存储空间，降低噪声并恢复矩阵的低阶结构。如果我们保留前k个奇异值，那么所得的低秩矩阵的维将为：

我们假设n小于m。奇异值和右奇异向量是从Gramian矩阵ATA的特征值和特征向量得出的。如果用户通过computeU参数请求，则通过矩阵乘法将存储左奇异矢量Ui的矩阵计算为U = A（VS-1）。实际使用的方法是根据计算成本自动确定的：w

2.SVD实例

spark.mllib为RowMatrix类中提供的面向行的矩阵提供SVD功能。

<code>import org.apache.spark.mllib.linalg.Matrix import org.apache.spark.mllib.linalg.SingularValueDecomposition import org.apache.spark.mllib.linalg.Vector import org.apache.spark.mllib.linalg.Vectors import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix // 定义数组 val data = Array( Vectors.sparse(5, Seq((1, 1.0), (3, 7.0))), Vectors.dense(2.0, 0.0, 3.0, 4.0, 5.0), Vectors.dense(4.0, 0.0, 0.0, 6.0, 7.0)) val rows = sc.parallelize(data) val mat: RowMatrix = new RowMatrix(rows) // 计算前5个奇异值和相应的奇异向量。 val svd: SingularValueDecomposition[RowMatrix, Matrix] = mat.computeSVD(5, computeU = true) val U: RowMatrix = svd.U // U因子 val s: Vector = svd.s // 奇异值存储在一个本地dense向量中 val V: Matrix = svd.V // V因子/<code>

3.SVD源码分析

计算SVD的源码如下：

<code>def computeSVD( k: Int, computeU: Boolean = false, rCond: Double = 1e-9): SingularValueDecomposition[RowMatrix, Matrix] = { // 迭代次数 val maxIter = math.max(300, k * 3) // 阈值 val tol = 1e-10 computeSVD(k, computeU, rCond, maxIter, tol, "auto") }/<code>

computeSVD(k, computeU, rCond, maxIter, tol, "auto")的实现分为三步。分别是选择计算模式，特征值分解，计算V,U,Sigma。下面分别介绍这三步。首先是选择计算模式：

<code> val computeMode = mode match { case "auto" => if (k > 5000) { logWarning(s"computing svd with k=$k and n=$n, please check necessity") } if (n < 100 || (k > n / 2 && n <= 15000)) { // 满足上述条件，首先计算方阵，然后本地计算特征值，避免数据传递 if (k < n / 3) { SVDMode.LocalARPACK } else { SVDMode.LocalLAPACK } } else { // 分布式实现 SVDMode.DistARPACK } case "local-svd" => SVDMode.LocalLAPACK case "local-eigs" => SVDMode.LocalARPACK case "dist-eigs" => SVDMode.DistARPACK }/<code>

特征值分解：

<code> val (sigmaSquares: BDV[Double], u: BDM[Double]) = computeMode match { case SVDMode.LocalARPACK => val G = computeGramianMatrix().toBreeze.asInstanceOf[BDM[Double]] EigenValueDecomposition.symmetricEigs(v => G * v, n, k, tol, maxIter) case SVDMode.LocalLAPACK => // breeze (v0.10) svd latent constraint, 7 * n * n + 4 * n < Int.MaxValue val G = computeGramianMatrix().toBreeze.asInstanceOf[BDM[Double]] val brzSvd.SVD(uFull: BDM[Double], sigmaSquaresFull: BDV[Double], _) = brzSvd(G) (sigmaSquaresFull, uFull) case SVDMode.DistARPACK => if (rows.getStorageLevel == StorageLevel.NONE) { logWarning("The input data is not directly cached, which may hurt performance if its" + " parent RDDs are also uncached.") } EigenValueDecomposition.symmetricEigs(multiplyGramianMatrixBy, n, k, tol, maxIter) }/<code>

计算U,V以及Sigma：

<code>//获取特征值向量 val sigmas: BDV[Double] = brzSqrt(sigmaSquares) val sigma0 = sigmas(0) val threshold = rCond * sigma0 var i = 0 // sigmas的长度可能会小于k // 所以使用 i < min(k, sigmas.length) 代替 i < k. if (sigmas.length < k) { logWarning(s"Requested $k singular values but only found ${sigmas.length} converged.") } while (i < math.min(k, sigmas.length) && sigmas(i) >= threshold) { i += 1 } val sk = i if (sk < k) { logWarning(s"Requested $k singular values but only found $sk nonzeros.") } //计算s，也即sigma val s = Vectors.dense(Arrays.copyOfRange(sigmas.data, 0, sk)) //计算V val V = Matrices.dense(n, sk, Arrays.copyOfRange(u.data, 0, n * sk)) //计算U // N = Vk * Sk^{-1} val N = new BDM[Double](n, sk, Arrays.copyOfRange(u.data, 0, n * sk)) var i = 0 var j = 0 while (j < sk) { i = 0 val sigma = sigmas(j) while (i < n) { //对角矩阵的逆即为倒数 N(i, j) /= sigma i += 1 } j += 1 } //U=A * N val U = this.multiply(Matrices.fromBreeze(N))/<code>

4.PCA介绍

主成分分析是最常用的一种降维方法。我们首先考虑一个问题：对于正交矩阵空间中的样本点，如何用一个超平面对所有样本进行恰当的表达。容易想到，如果这样的超平面存在，那么他大概应该具有下面的性质。 基于最近重构性和最大可分性，能分别得到主成分分析的两种等价推导。

主成分分析（PCA）是一种统计方法，用于查找旋转，以使第一个坐标具有最大的方差，而每个后续坐标又具有最大的方差。旋转矩阵的列称为主成分。PCA被广泛用于降维。spark.mllib支持将PCA用于以行格式和任何Vector存储的高而瘦的矩阵。

5.PCA实例

以下代码演示了如何在RowMatrix上计算主成分并将其用于将向量投影到低维空间中。

<code>import org.apache.spark.mllib.linalg.Matrix import org.apache.spark.mllib.linalg.Vectors import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix val data = Array( Vectors.sparse(5, Seq((1, 1.0), (3, 7.0))), Vectors.dense(2.0, 0.0, 3.0, 4.0, 5.0), Vectors.dense(4.0, 0.0, 0.0, 6.0, 7.0)) val rows = sc.parallelize(data) val mat: RowMatrix = new RowMatrix(rows) // 计算4个主成分 // 主成分存储在本地dense矩阵中 val pc: Matrix = mat.computePrincipalComponents(4) // 将行投影到前4个主要成分所跨越的线性空间 val projected: RowMatrix = mat.multiply(pc)/<code>

6.PCA源码分析

主成分分析的实现代码在RowMatrix中实现。源码如下：

<code>def computePrincipalComponents(k: Int): Matrix = { val n = numCols().toInt //计算协方差矩阵 val Cov = computeCovariance().toBreeze.asInstanceOf[BDM[Double]] //特征值分解 val brzSvd.SVD(u: BDM[Double], _, _) = brzSvd(Cov) if (k == n) { Matrices.dense(n, k, u.data) } else { Matrices.dense(n, k, Arrays.copyOfRange(u.data, 0, n * k)) } }/<code>

这段代码首先会计算样本的协方差矩阵，然后在通过breeze的svd方法进行奇异值分解。这里由于协方差矩阵是方阵，所以奇异值分解等价于特征值分解。下面是计算协方差的代码：

<code>def computeCovariance(): Matrix = { val n = numCols().toInt checkNumColumns(n) val (m, mean) = rows.treeAggregate[(Long, BDV[Double])]((0L, BDV.zeros[Double](n)))( seqOp = (s: (Long, BDV[Double]), v: Vector) => (s._1 + 1L, s._2 += v.toBreeze), combOp = (s1: (Long, BDV[Double]), s2: (Long, BDV[Double])) => (s1._1 + s2._1, s1._2 += s2._2) ) updateNumRows(m) mean :/= m.toDouble // We use the formula Cov(X, Y) = E[X * Y] - E[X] E[Y], which is not accurate if E[X * Y] is // large but Cov(X, Y) is small, but it is good for sparse computation. // TODO: find a fast and stable way for sparse data. val G = computeGramianMatrix().toBreeze.asInstanceOf[BDM[Double]] var i = 0 var j = 0 val m1 = m - 1.0 var alpha = 0.0 while (i < n) { alpha = m / m1 * mean(i) j = i while (j < n) { val Gij = G(i, j) / m1 - alpha * mean(j) G(i, j) = Gij G(j, i) = Gij j += 1 } i += 1 } Matrices.fromBreeze(G) }/<code>

Spark 降维算法的内容至此结束，有关Spark的基础文章可参考前文：

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参考链接：

http://spark.apache.org/docs/latest/mllib-clustering.html

https://github.com/endymecy/spark-ml-source-analysis