规律总结
1.对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是:
(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;
(2)求导数,得单调区间和极值点;
(3)画出函数草图;
(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
2.利用导数证明不等式的策略
(1)证明f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x),可通过构造函数h(x)=f(x)-g(x),将上述不等式转化为求证h(x)≥0或h(x)≤0,从而利用求h(x)的最小值或最大值来证明不等式.或者,利用f(x)min≥g(x)max或f(x)max≤g(x)min来证明不等式.
(2)在证明不等式时,如果不等式较为复杂,则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式,再进行证明.
3.两招破解不等式的恒成立问题
(1)分离参数法
第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题;
第二步:利用导数求该函数的最值;
第三步:根据要求得所求范围.
(2)函数思想法
第一步:将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题;
第二步:利用导数求该函数的极值;
第三步:构建不等式求解.
4.利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧
(1)根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题;
(2)用导数求该函数在该区间上的最值问题;
(3)构建不等式求解.
5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求导:求函数的导数f ′(x),解方程f ′(x)=0.
(3)求最值:比较函数在区间端点和使f ′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)作答:回归实际问题作答.