今天给大家分享的是2020年河南中考数学预测卷第19题，主要考查圆的综合，对这部分内容掌握不太好的同学可以试一试。
【例题】
19.如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD为不过圆心且垂直于AB的弦，CD交AB于点E，连接CO并延长交⊙O于点F，连接CB和DF并延长交于点G．
（1）求证：CF＝GF；
（2）填空：①若AB＝4，则△COE面积的最大值是 ；
②当∠BGF 时，四边形BODF为菱形．
图1
【涉及考点】圆的综合题．
【解题分析】
（1）根据圆周角定理证明BF垂直平分线段CG，即可证明CF＝GF；
（2）由（1）可知，OE是三角形CDF中位线，所以S△COE＝1/4S△CDF，当点H与点O重合时，高DH最大，此时DH＝DO＝1/2AB＝1/2*4=2，S△CDF的最大值为1/2*4*2=4，则△COE面积的最大值是1/4*4=1．
（3）由四边形BODF为菱形得OD＝DF＝BF＝OB＝OF，所以△BOF、△DOF为等边三角形，∠OFD＝∠OFB＝60°，∠BFG＝60°，即求出∠FBG＝∠FB∠BGF＝90﹣60°＝30°．
【详细解答过程】
解：（1）连接BF．
图2
∵CF为直径，
∴∠CBF＝90°，∠CDF＝90°，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴∠CEB＝90°，CE＝DE，
∴∠CEB＝∠CDF，
∴AB∥DF，
∴CB＝BG，
∴BF垂直平分线段CG，
∴CF＝GF；
（2）过点D作DH⊥CF于H．
图3
由（1）可知，OE是三角形CDF中位线，
∴S△COE＝1/4S△CDF，
当点H与点O重合时，高DH最大，此时DH＝DO＝1/2AB＝1/2*4＝2，
S△CDF的最大值为1/2*4*2=4，
∴则△COE面积的最大值是1/4*4=1．
所以答案为1．
（3）连接OD、BF．
图4
∵四边形BODF为菱形．
∴OD＝DF＝BF＝OB＝OF，
∴△BOF、△DOF为等边三角形，
∴∠OFD＝∠OFB＝60°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠FBG＝∠FBC＝90°，
∴∠BGF＝90﹣60°＝30°．
故答案为30°．
【总结】这道题主要考查了圆综合知识，熟练运用垂径定理、菱形的性质是解题的关键．
图5