如圖,二次函數y=y = -(x^2) + 4*x + 5圖象的頂點為D,對稱軸是直線l,一次函數
y = (2/5)*x + 1的圖象與x軸交於點A,且與直線DA關於l的對稱直線交於點B.
(1)點D的座標是______;
(2)直線l與直線AB交於點C,N是線段DC上一點(不與點D、C重合),點N的縱座標為n.過點N作直線與線段DA、DB分別交於點P、Q,使得△DPQ與△DAB相似.
①當n=(27/5) 時,求DP的長;
②若對於每一個確定的n的值,有且只有一個△DPQ與△DAB相似,請直接寫出n的取值範圍_____.
第一問考察了函數的頂點座標,利用公式很容易解決。
【解答1】(1)頂點為D(2,9)
第二問考察了相似三角形及分線段成比例的知識點,運用分類討論的方法可以解決這一問題。
根據題意先求出對應的基礎信息,如座標,函數表達式等。
【解答2①】對稱軸x=2, ∴C(2,(9/5) ),
由已知可求A(-(5/2) ,0), 點A關於x=2對稱點為( (13/2),0),
則AD關於x=2對稱的直線為y=-2x+13, ∴B(5,3),
分類討論一 AB//PQ時
當n=(27/5) 時,N(2,(27/5) ),
∴DA= (9√(5)/2),DN=(18/5) ,CD= (36/5)
N 為CD中點
當PQ//AB ,△DPQ∽△DAB,
∵△DAC∽△DPN,
∴(DP/DA)=(DN/DC) ,
∴DP=(9√(5) /4);
分類討論二 AB不平行PQ時
當PQ與AB不平行時,△DPQ∽△DBA,
∴△DNQ∽△DCA,
N 為CD中點
∴ (DP/DB)=(DN/DC)=(1/2),
其中B(5,3) D(2,9)
N 為CD中點
∴BD=3√(5)
∴DP=(3√(5)/2);
綜上所述,DN=(9√(5)/4)或(3√(5)/2) ;
【解答2②】
(1)N點的最小值情況
當PQ//AB,此時N點要在C點上方
∴n>(9/5)
(2)Q點與B點重合
當PQ與AB不平行時
B與Q重合
DB=DQ時,
DB=3√(5) ,
∴ (DQ/DA)=(DN/DC),
∴DN=(24/5) ,
∴N(2,(21/5) ),
∴有且只有一個△DPQ與△DAB相似時,
(9/5)<n<(21/5) ;
故答案為(9/5)<n<(21/5)
知識鏈接
相似三角形的基本模型