性質一
證明一：數量關係計算
證明二：構造問題情境
問題：從n個不元素中取出m個元素，則所有取法有多少種？
解：
從n個不同元素中取出m個元素，相當於從n個元素中剔除n-m個元素。即：
性質二
證明一：數量關係計算
證明二：利用楊輝三角的特徵
每一行除首尾兩數，其餘各數都等於其肩上兩數之和。
即：
證明三：構造問題情境
問題：某班有n+1個同學，現在從這個班級選取m個同學參加某項活動，有多少種不同的選法？
性質三
證明一：數量關係計算
證明二：構造問題情境
問題：
某班級共有n個同學，現在需要選出m個人參加某項活動，且確定一名同學為組長，共有多少種不同的方法？
解：做這件事，有兩種方式。
方式1.先從n位同學中選出m個人，然後從中確定一名組長。
按照分步計數原理，方法數共有：
方式2.先從n位同學中選定一名為組長，再從剩下的n-1位同學中選m位同學。按照分步計數原理，則方法數共有：
兩種方式所得結果相等，故有：
性質四
證明一：賦值法
證明二：構造問題情境
問題：
某班級共有n位同學，現在從中選出一些同學參加某項活動，共有多少種不同的方法？
解：
思路一：因為沒有限定人數，每位同學都有選中和選不中兩種不同選擇，按照分步計數原理，則共有2n種不同選擇；
思路二：也可以按照選中的人數進行分類，因為人數未限定，故可分為選中0個、1個、2個，......n個，共n+1種情況，按分類計數加法原理，則所有方法數有：
兩種方式結果就相等，故有：
經典例題一
證明一：利用性質二
證明二：裂項相消
證明三：構造問題情境
問題：
某班有n+1名同學，現從中選拔m+1人參加某項活動，共有多少種不同選法？
解：
經典例題二
證明一：利用性質三
證明二：倒序相加法
證明三：構造問題情境
問題：
某班有n名同學，現從中選拔一些人參加某項活動，同時確定一名同學為組長。共有多少種不同選法？
解：
思路一：先從n名同學中選出一些人，再從中選出一名組長。因為人數未知，則共有n種不同情況（選1人、2人、...、n人），則所有的方法數有：
思路二：先從n名同學中確定一人為組長，再考慮其他n-1人被選中情況，每人有被選中和選不中兩種可能，則所有的方法數為
兩種不同思路，結果應相等故有：
