傳說上古伏羲氏時，有龍馬從黃河裡跳出來，背上負著河圖；有神龜從洛水裡跳出來，背上負有洛書。伏羲氏根據河圖、洛書演化成八卦。洛書便是最早的幻方，用現代數學語言解釋，就是用1~9九個數字，填在九個格子裡，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數字的和都等於15。
有專家認為"河圖"實是伏羲最終創立先天五行八卦的源頭。古人還認為，"河圖"是一幅以地球為中心的天體宇宙圖，內藏天地玄機、奧秘乾坤，正如《易經》中所說的"天地定位"，是同一理。如果把河圖之數進行內外交連，會發現它由陽數的1-3-7-9構成內旋圖，由陰數的2-4-6-8構成外旋圖，奇數和偶數交錯旋轉，而5和10為核心中位數。這就構成了宇宙模型圖，也就是所謂的先天太極圖吧。
另一傳說，相傳大禹在治洛水的時候，洛水神龜獻給大禹一本洛書，書中有如圖所示的一幅奇怪的圖，這幅圖用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方，也就是在3×3的方陣中填入1~9，其中每行、每列和兩條對角線上數字和都相等.
洛書所體現的陰陽之數總共四十有五，以1到9相序之數為天地萬物生死存亡之數。此數共列其九，構成九星圖，按照周天分度，把四十五數合成了陰陽45度，以周流八方之理，相乘而得數360度，360度就代表了周天運行，圓融無礙。
孔子曰："河出圖，洛出書，聖人則之"。在河洛文明演化中，我們看到中華文明的源頭在《易經》中完整的呈現，大道至簡，河洛文化衍生出的萬物之理宏大無窮，奧妙無比。後人總結說，它們反映出的信息，實質上是以"河圖"表示宇宙縮影，用"洛書"表示地球縮影，以河圖為體，以洛書為用，分合之機，此消彼長。自此而立，中華文明的宏大圖譜，從那時那刻拉開了序曲。
幻方，又名方陣，也叫縱橫圖。是一種中國傳統遊戲。舊時在官府、學堂多見。它的特點是將幾個數字排列成方陣，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等。
作為洛書三階幻方基礎的九宮數字"二九四，七五三，六一八"，在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中有明顯記載，這是中國人在數學上的偉大創造，它奠定了數學中一個重要分支——組合學的基礎。
國外最早的幻方是在印度耆那教寺廟門前一塊石牌上刻的，是12－13世紀的產物。這是有據可查的最早的四階幻方。除了各行、各列、對角線上的和是34，它的任何2×2的方塊內的4個數字和也是34。這個幻方是一個泛對角幻方（完美幻方）。歐洲直到14世紀才開始研究幻方，比我國遲了近兩千年。
南宋傑出數學家楊輝最早編造出各式幻方，記錄在1275年他編輯的《續古摘奇算法》上；十八世紀美國科學家、發明家富蘭克林曾製作瞭如圖2所示的八階幻方。它的幻和是260，它有一些獨特的性質，如從16到10，再從23到17所成折線∧上八個數字之和也為260，且平行這種折線的諸折線∨上的八個數字之和也為260。
金庸先生的武俠小說《射鵰英雄傳》對幻方更是情有獨鍾；1977年，美國發射了"旅行者一號"和"旅行者二號"宇宙飛船，飛船上載了兩件與數學有關的物件，一個是勾股數，一個是耆那幻方(Jaina Square)，將它們作為人類智慧的信號，試圖與"外星人"建立聯繫。
這個完美幻方在所有的"折對角線"上也具有數字相加之和為常數的特性、例如，方格2、12、15、5，以及方格2、3、15、14都是其折對角線，將兩個完全相同的幻方並排放置在一起就可以把對角線復原。不論是把完全幻方最上面一行的方格移到最下面去或反之，還是把邊上的某一列移到另一邊，得到的仍然是一個完美幻方。
幻方，文化與數學的奇妙交融，還有多少未解之謎！數學家著力揭示幻方數字排列組合的奧秘，科學家希望幻方的完美性質助力人類實現與外星文明溝通的夢想，或許是與外星文明溝通密碼。藝術家努力把幻方圖案融合到藝術設計中，哲學家期盼參悟幻方蘊含的易學思想.
《澳門迴歸百子圖》是由1，2，3，……，100形成的一幅十階幻方。在珠海迎賓大道板障山頂部，可以直觀拱北口岸大樓，大樓背後就是澳門。進入板樟山公園大門約100米，右側有迂迥的石梯1999級可達頂峰。在頂峰正望澳門方向，可見一方大石碑名為《澳門迴歸百子圖》。中央四數連讀"1999·12·20 "，標示澳門迴歸日。最後一行中間兩數"23 50"標示的是澳門面積。
例1. 運用整體核算法可證得三階幻方有如下性質：
（1）三階幻方中，每行、每列、每條對角線上三個數的和等於這九個數的和的1/3；
（2）三階幻方中的每行、每列、每條對角線上三個數的和是中心格數的3倍；
（3）三階幻方的中心格數是九個數的平均數；
整體核算法即將問題中的一些對象看作一個整體，觀察、分析問題中的題設與結論之間的整體特徵和結構，從整體上計算、推理.
（4）在三階幻方中，每個數都加上或乘以一個相同的數，則所得的圖仍是三階幻方.
解析：有些問題涉及的量比較多，關係複雜，我們就需要引入不同的字母，便於把數量關係表示出來，在解題中我們不需（或不能）求出所有字母的值，只需求出關鍵的字母的值.
如圖是一個三階幻方，且每行、每列、每條對角線上三個數的和是S，為充分表示等量關係，需設多個未知數，設而不求，運用整體核算法證明.
在上述證明過程中，為了推理而引入9個未知數，設而不求，通過整體變形、代換而解決問題.三階幻方的性質是構造幻方的重要依據，從一個側面回答了"三階幻方是如何構造"的問題.
例2.如圖①，a，b，c，d，e，f，g，h，i分別代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中某一個數，不同字母代表不同的數，使每個小圓內3個數的和都相等，那麼a+d+g的值是多少？
解析：設這個相等的和是S，現將這9個小圓中（3×9=）27個數求和，可得：
9s=（1+2+…+9）+2×（a+b+c+d+e+f+g+h+i）=3×（1
+2+…+9）=3×45=135，故S=15.
先從9所在的小圓看，h至少是1，i最多隻能是5，再從1所在的小圓看，a最多隻能是9，由於1+i+a=15，所以必須i=5，a=9，由此可以求得圖②.
對照圖①與圖②中各數的位置，可看到a+d+g=9+3+6=18.
當然也可以有另一解法.
將含1、含2、含4、含5、含7與含8的6個小圓內（3×6=）18個數求和，可得：
6×15=1+2+4+5+7+8+（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+a
+d+g，即90=72+a+d+g，所以a+d+g=90-72=18.
例3.把數字1，2，3…，9分別填入圖中的9個圈內，要求△ABC與△DEF的每條邊上三個圈內數字之和都等於18.
（1）給出一種符合要求的填法；
（2）共有多少種不同的填法？證明你的結論. （山東省競賽題）
解析：設A，B，C三個數之和為x，D，E，F三個數之和為y，剩餘三個數之和為z，則x+y+z=1+2+…+9=45①，
由圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數的和為18，得2+3y+2x=6×18=108②，由②-①得x+2y=108-45=63③，
把AB，BC，CA每一邊上三個圈中之數的和相加，得2x+y=3×18=54④，
聯立③、④解得x=15，y=24，進而z=6.
在1~9中三個數之和為24的僅有7，8，9，所以在D，E，F三處圈內，只能填7，8，9三個數，共有6種不同填法.顯然，當這三個圈中之數一旦確定，根據題目要求，其餘六個圈內之數也隨之確定，從而得到結論，共有6種不同的填法。
隨著人們對幻方性質的充分挖掘、組合數學的發展，幻方在工藝美術設計、組合分析、人工智能、圖論、密碼編輯、圖像安全處理等方面有廣泛的應用。
（1）如圖，把圖中每行、每列的數字組成一個三位數，並寫出它們的逆序數，可得到下列美妙的算式：
（2）如圖，歐洲最早的幻方出現於德國畫家丟勒（1471-1528）在1514年所作的銅版畫《憂鬱》。
1514年，德國畫家丟勒創作了一幅鋼版畫《憂鬱》，畫面右上方掛著一塊4階幻方，該畫反映了人們對沒有充分的知識與智慧去探索自然界奧秘的深深的"憂傷"。
通過數與形的轉換，上述幻方還可以應用於藝術設計.
最富戲劇性的展示這種幻方魔力特性的辦法，是康奈爾大學兩位數學家羅瑟（J.Barkley Rosser）和沃克（Robert J.Walker）發表於1938年的論文中所描述的那一個。先把這個完全幻方的頂和底接在一起構成一個圓柱體，然後將它拉伸。扭曲成輪胎狀的圓紋曲面。所有的行、列及對角線現在都成了閉圈。如果我們從任意一個方格開始，沿對角線方向移動兩個，總是會達到同一個方格上。每個四格的閉圈，不論直加還是斜加，和都是34，像任何一個幻方中的四格組一樣。
由於幻方變幻莫測，高深奇妙，不僅吸引著普通數學愛好者，還吸引了許多數學家。美國著名的幻方大師馬丁·加德納( M.Gardner，1914～)除了仔細鑽研，還提出了自己的疑問——有沒有反幻方呢？如果將1、2、3、…、9九個數隨意填進這九個格子裡，會不會出現任一行、任一列或對角線上的數字之和都不相等？看來，幻方的研究之路還很長，需要人們不斷地探索。
近代發現，幻方和組合分析有密切關係，它在對策論、圖論、人工智能、程序設計等中有一定用途。在過去純粹是一種數學遊戲的幻方，被人們逐漸發現蘊涵著許多深刻的數學原理，並把它應用在許多場合。電子計算機技術的飛速發展，又給這個古老的題材注入了新鮮血液。數學家們進一步深入研究它，終於使其成為一門內容極其豐富的新數學分支——組合數學。
