蜂房結構、火箭的最佳發射時間、人造衛星的最佳工作狀態；節約下料、物資調度、倉庫存儲、投資組合、金融策略、優選試驗，精益求精是自然進化、人類發展的一個永恆話題。
最優化，人類智慧的結晶。田忌賽馬、華羅廢的優選法、線性規劃…"多、快、好、省"是生產實踐的"最優化"要求，最優化理論構成了20世紀數學發展的一個亮點
康託羅維奇（1912-1986），蘇聯經濟家，1938年首次提出求解線性規劃問題的方法，曾獲得1975年的諾貝爾經濟學獎。線性規劃是幫助人們進行科學管理的一種數學方法，研究線性約束條件下線性目標函數極值的數學理論和方法。
若圖形甲的頂點均在圖形乙的邊界上，則稱圖形甲為圖形乙的內接圖形，它包含以下基本形式：三角形內接三角形、三角形內接四邊形、四邊形內接三角形、圓內接三角形、圈內接四邊形等。
轉化與化歸是一種重要的數學思想，在數學學習與解數學題中，我們常常用到下列不同途徑的轉化：實際問題轉化為數學問題，數與形的轉化，常量與變量的轉化，一般與特殊的轉化等。
例2．某課題學習小組在一次活動中對三角形的內接正方形的有關問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那麼我們就把這個正方形叫做三角形的內接正方形．
結論：在探討過程中，有三位同學得出如下結果：
甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、____個、_____個大小不同的內接正方形．
乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內接正方形的面積較大．
丙同學：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小．
任務：（1）填充甲同學結論中的數據；
（2）乙同學的結果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例並通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結合（2）的判定，推測丙同學的結論是否正確，並證明．
【解析】：（1）1，2，3．
（2）乙同學的結果不正確．
例如：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝1，則AC=√2．
如圖①，四邊形DEFB是隻有一個頂點在斜邊上的內接正方形．
∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小．
變式1．如圖Rt△ABC中有兩種作內接正方形的方法．圖（1）作的內接正方形面積為441，（2）中作的內接正方形的面積為440，則AC+BC的值為（ ）
A．456 B．458 C．460 D．462
【解析】：如圖，設BC＝a，AC＝b，AB＝c．
在圖（1）中，∵四邊形EFCD是正方形，
∴EF∥BC，∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴EF：BC＝AF：AC，21：a＝（b﹣21）：b，
例3．如果一個矩形的四個頂點分別在三角形的各條邊上，那麼就稱這個矩形為此三角形的內矩形如圖1，矩形DEFG是△ABC的內接矩形，學習了三角形的內接矩形後，小明對此產生了濃厚的興趣，並做了以下探索與猜想．
（一）探究與發現：
已知：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．小明利用位似圖形的方法，做出Rt△ABC的內接正方形CDEF，請你參照小明的方法，在圖3中畫出Rt△ABC的內接正方形，使正方形的一邊落在AB邊上，其餘兩個頂點分別在BC、AC上．（不寫畫法，保留畫法，保留畫圖痕跡，畫圖工具不限）
（2）請問圖3中的內接正方形的面積是該三角形內接矩形的最大面積嗎？_____（填"是"或"不是"），若不是，則該三角形內接矩形的最大面積是______．
（3）經過探究小明發現並證明了直角三角形的內接矩形一定存在最大面積，且內接矩形的最大面積與直角三角形面積的比是_____-．
（二）猜想與說理：
小明猜想：在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，AB＝c，斜邊AB上的高為h，（其中c，h為常數）則該三角形的內接矩形的對角線一定存在最小值．小明的猜想正確嗎？若正確，請你求出三角形內接矩形對角線的最小值、若不正確，請說明理由．
【解析】：（一）（1）如圖3所示，正方形EFGH即為所求作．
（2）①若矩形EFGH是正方形，
過點C作CN⊥AB於N，交GH於M，則CM⊥GH．如圖4，
設正方形EFGH的邊長為x，則有GH＝EH＝MN＝x．
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
②若矩形EFGH不是正方形，
過點C作CN⊥AB於N，交GH於M，則CM⊥GH．如圖5，
∴內接正方形的面積不是最大，該三角形內接矩形的最大面積是3．
故答案分別為：不是、3；
（3）∵內接矩形的最大面積為3，直角三角形面積為1/2×4×3＝6，
∴內接矩形的最大面積與直角三角形面積的比是1/2．
故答案為：1/2；
（二）小明的猜想正確．如圖5，
∵四邊形EFGH是矩形，∴GH∥EF，∴△CGH∽△CAB．
本題主要考查了位似變換、相似三角形的判定、相似三角形的性質（相似三角形的對應高的比等於相似比）、二次函數的最值性、勾股定理等知識，在解決問題的過程中，用到了重要的數學方法﹣配方法，求多項式的最值，常常可通過運用配方法來解決問題．
變式1．閱讀以下內容並回答問題：
如圖1，在平面直角座標系xOy中，有一個△OEF，要求在△OEF內作一個內接正方形ABCD，使正方形A，B兩個頂點在△OEF的OE邊上，另兩個頂點C，D分別在EF和OF兩條邊上．
小麗感到要使四邊形的四個頂點同時滿足上述條件有些困難，但可以先讓四邊形的三個頂點滿足條件，於是她先畫了一個有三個頂點在三角形邊上的正方形（如圖2）．接著她又在△OEF內畫了一個這樣的正方形（如圖3）．她發現如果再多畫一些這樣的正方形，就能發現這些點C位置的排列圖形，根據這個圖形就能畫出滿足條件的正方形了．
（1）請你也實驗一下，再多畫幾個這樣的正方形，猜想小麗發現這些點C排列的圖形是_____；
（2）請你參考上述思路，繼續解決問題：如果E，F兩點的座標分別為E（6，0），F（4，3）．
①當A₁的座標是（1，0）時，則C1的座標是______ ；
②當A₂的座標是（2，0）時，則C2的座標是______；
③結合（1）中猜想，求出正方形ABCD的頂點D的座標，在圖3中畫出滿足條件的正方形ABCD．
【解析】：（1）一條線段；
（2）∵F（4，3）．∴直線OF的表達式是y＝3/4x，
所以直線EF的表達式為y＝﹣3/2x+9
直線EF：y＝﹣3/2x+9與直線C1C2：y＝3/7x的交點座標為C．
解得x＝14/3，y＝2．∴C點座標為（14/3，2）．
把y＝2代入y＝3/4x，解得x＝8/3，∴D點座標為（8/3，2）
即：所畫四邊形ABCD如圖3所示，
求解與圖形內接相關最值的問題的常用基本方法有：
（1）特殊位置與極端位置法：先考慮特殊位置或極端位置，確定最值的具體數據，再進行一般情形下的推證；
（2）幾何定理（公理）法：應用幾何中的不等量性質、定理；
（3）數形結合法：揭示問題中變動元素的代數關係，構造二次函數等。
