【例題】
24.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點C作⊙O的切線DE交AB的延長線於點E，過點A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交於點F，設∠DAC，∠CEA的度數分別是α，β．
（1）用含α的代數式表示β，並直接寫出α的取值範圍；
（2）連接OF與AC交於點O′，當點O′是AC的中點時，求α，β的值．
圖1
【涉及考點】切線的性質．
【解題分析】
（1）首先證明∠DAE＝2α，在Rt△ADE中，根據兩銳角互餘，可知2α+β＝90°，（0°＜α＜45°）；
（2）連接OF交AC於O′，連接CF．只要證明四邊形AFCO是菱形，推出△AFO是等邊三角形即可解決問題；
【詳細解答過程】
解：（1）連接OC．
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAE＝2α，
∵∠D＝90°，
∴∠DAE+∠E＝90°，
∴2α+β＝90°（0°＜α＜45°）．
（2）連接OF交AC於O′，連接CF．
∵AO′＝CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA＝∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四邊形AFCO是平行四邊形，
∵OA＝OC，
∴四邊形AFCO是菱形，
∴AF＝AO＝OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠FAO＝2α＝60°，
∴α＝30°，
∵2α+β＝90°，
∴β＝30°，
∴α＝β＝30°．
圖2
【總結】
這道題考查切線的性質、垂徑定理、菱形的判定．等邊三角形的判定和性質等知識，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬於中考常考題型之一．
圖3
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