課題：28.2 解直角三角形
一、教學目標
1．知識與技能
理解直角三角形中邊與邊的關係，角與角的關係和邊與角的關係，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互餘、以及銳角三角函數解直角三角形，並會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題；初步感受高等數學中的微積分思想．
2．過程與方法
通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互餘及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力．
3．情感、態度與價值觀
滲透數形結合的數學思想，培養學生良好的學習習慣．
二、 重點與難點
1．重點：直角三角形的解法．
2．難點：三角函數在解直角三角形中的靈活運用．
三、教學方法
1．注意加強知識間的縱向聯繫
銳角三角函數反映了銳角與數值之間的函數關係，這一次函數、反比例函數以及二次函數一樣，都反映了變量之間的對應關係．因此教學時，要注意讓學生體會這些不同函數之間的共同特徵，更好地理解函數的概念．
2．注意數形結合，注意體現數與形之間的聯繫
解直角三角形在實際中有著廣泛的作用，在將這些實際問題抽象成數學問題，並利用銳角三角函數解直角三角形時，離不開幾何圖形，這時往往需要根據題意畫出幾何圖形，通過分析幾何圖形得到邊、角等的關係，再通過計算、推理等使實際問題得到解決．因此在本章教學時，要注意加強數形結合，在引入概念、推理論述、化簡計算、解決實際問題時，都要儘量畫圖幫助分析，通過圖形幫助找到直角三角形的邊、角之間的關係，加深對直角三角形本質的理解．
四、教學過程
（一）複習導入
我們回到本章引言提出的比薩斜塔傾斜程度的問題。
1972年的情形：設塔頂中心點為B,塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A,過點B向垂直中心線引垂線，垂足為點C(圖28.2-1)。在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2mAB=54.5m,因此
sinA= BC/AB=5.2/54.5≈0.0954
利用計算器可得∠A≈5°28′
類似地，可以求出2001年糾偏後塔身中心線與垂直中心線的夾角。你能求出來嗎？
如果將上述實際問題抽象為數學問題，就是已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角的度數。
一般地，直角三角形中，除直角外共有五個元素，即三條邊和兩個銳角由直角三角形中的已知元素，求出其餘未知元素的過程，叫做解直角三角形。
（二）互動授新
例題1：要想使人完全地攀上斜靠在牆面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50°≤a≤75°（課本圖28．2-1），現有一個長6m的梯子，問：
1．使用這個梯子最高可以完全攀上多高的牆（精確到0.1m）？
2．當梯子底端距離牆面2.4m時，梯子與地面所成的角a等於多少（精確到1°）？這時人是否能夠安全使用這個梯子？
首先對問題的解法進行分析：對於問題1，當梯子與地面所成的角a為75°時，梯子頂端與地面的距離是使用這個梯子所能攀到的最大高度．
教師要求學生將上述問題用數學語言表達，學生做完後教師總結並板書：我們可以把問題1歸結為：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜邊AB=6，求∠A的對邊BC的長（如課本圖28．2-1）．
教師講解問題1的解法：
由sinA= 得 BC=AB·sinA=6×sin75°．
由計算器求得 sin75°≈0.97，
所以 BC≈6×0.97≈5.8．
因此使用這個梯子能夠完全攀到牆面的最大高度約是5.8m．
教師分析問題2：當梯子底端距離牆面2.4m時，求梯子與地面所成的角a的問題，可以歸結為：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜邊AB=6，求銳角a的度數（如課本圖28．2-1）．
教師解題：由於cosa=AC/Ab=2.4/6=0.4，
利用計算器求得a≈66°．因此當梯子底端距離牆面2.4m時，梯子與地面所成的角大約是66°，由50°<66°<75°可知，這時使用這個梯子是安全的．
例題2：如下圖，已知A、B兩點間的距離是160米，從A點看B點的仰角是11°，AC長為1.5米，求BD的高及水平距離CD．
學生先做完此題後教師再進行講評：
解題方法分析：由A作一條平行於CD的直線交BD於E，構造出Rt△ABE，然後進一步求出AE、BE，進而求出BD與CD．設置此題，即使成績較好的學生有足夠的訓練，同時對較差學生又是鞏固，達到分層次教學的目的．
解：過A作AE∥CD，於是有AC=ED，AE=CD．
在Rt△ABE中，sinA=BE/AE
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．
cosA=AE/AB
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．
即 CD=AE=157.1（米）．
答：BD的高及水平距離CD分別是32.03米，157.1米．
小結：利用三角函數解應用題時，首先要把問題的條件與結論都轉化為一個直角三角形內的邊和角，然後再運用三角函數知識解題．
（三）課堂鞏固練習
雙基與中考
1．根據直角三角形的__________元素（至少有一個邊），求出________其它所有元素的過程，即解直角三角形．
2．Rt△ABC中，若sinA=4/5，AB=10，那麼BC=_____，tanB=______．
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那麼sinA=________．
4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求證：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的長．
答案:
1．已知兩個 2．8 3/4 3． 4/5
4.（1）在△ABC中，AD是BC邊上的高，
∴tanB=AD/AB cos∠DAC=AD/AC
又∵tanB=cos∠DAC．
∴BD=AC．
（2）∵sinC=12/13，設AD=12x，AC=13x，
∴CD=5x，BD=13x，則BC=18x，
又∵BC=12，
∴18x=12，即x=2/3，
∴AD=8．
（四）課堂總結
解直角三角形時一般要用到下面的知識，在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A, ∠B ∠C 所對的邊分別為a b c.那麼除直角∠C外的五個元素之間的關係。
（1）三邊之間的關係：
c² = b² + a²（勾股定理）
c = √ b² + a²
b = √ c² -a²
a = √ c² - b²
（2）兩銳角之間的關係：
∠A+∠B=90°．
（3）邊角之間的關係：
sinA= ∠A的對邊/斜邊 = a/c，
sinB= ∠B的對邊/斜邊 = b/c
cosA= ∠A對鄰邊/斜邊 = b/c
cosB=∠B的鄰邊/斜邊 = a/c
tanA=∠A的對邊/鄰邊 = a/b
tanB=∠B的對邊/鄰邊 = b/a
利用這些關係，知道其中兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出其餘三個未知元素。
