今天給大家分享的是2020年陝西中考數學三模第25題，屬於三角形的綜合，其中第3小題有一定的難度，想要拔高的同學可以挑戰一下。
【例題】
25.問題提出
（1）如圖1，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 處．
問題探究
（2）如圖2，在△ABC中，內角∠ABC的平分線BE和外角∠ACF的平分線CE，相交於點E，連接AE，若∠BEC＝40°，請求出∠EAC的度數．
問題解決
（3）如圖3，某地在市政工程施工中需要對一直角區域（∠AOB＝90°）內部進行圍擋，直角區域∠AOB內部有一棵大樹（點P），工作人員經過測量得到點P到OA的距離PC為10米，點P到OB的距離PD為20米，為了保護大樹及節約材料，設計要求圍擋牌要經過大樹位置（點P）並且所用材料最少，即圍擋區域△EOF周長最小，請你根據以上信息求出符合設計的△EOF周長的最小值，並說明理由．
圖1
【涉及考點】三角形綜合題．
【解題分析】
（1）作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內角平分線，外角平分線相交於點P1、P2、P3，內角平分線相交於點P4，然後根據角平分線的性質進行判斷；
（2）根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義列式並整理得到∠BAC＝2∠BEC，過點E作EF⊥BA交延長線於F，作EG⊥AC於G，作EH⊥BD於H，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得EF＝FH，EG＝EH，然後求出EF＝EG，再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出AE是∠CAF的平分線，再根據角平分線的定義解答即可；
（3）根據前兩問的啟發，設∠AOB、∠AEF、∠BFE的角平分線交於點Q，作QN⊥OB於N，QM⊥OA於M，QH⊥EF於H，連接QP，可得四邊形OMQN是正方形，設正方形邊長為y，則所求的△OEF的周長為2y，再根據“斜邊大於等於直角邊”，即PQ≥QH，列出不等式，解不等式可得y的最小值．
【詳細解答】
解：作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內角平分線，外角平分線相交於點P1、P2、P3，內角平分線相交於點P4，根據角平分線的性質可得到這4個點到三條公路的距離分別相等．
故答案為：4；
（2）解：∵∠ABC與∠ACD的角平分線相交於點E，
∴∠CBE＝1/2∠ABC，∠ECD＝1/2∠ACD，
由三角形的外角性質得，∠ACD＝∠ABC+∠BAC，
∠ECD＝∠BEC+∠CBE，
∴1/2∠ACD＝∠BEC+1/2∠ABC，
∴1/2（∠ABC+∠BAC）＝∠BEC+1/2∠ABC，
整理得，∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝40°，
∴∠BAC＝2×40°＝80°，
過點E作EH⊥BA交延長線於H，作EG⊥AC於G，作EF⊥BC於F，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EH，
∵CE平分∠ACD，
∴EG＝EF，
∴EH＝EG，
∴AE是∠CAF的平分線，
∴∠CAE＝1/2（180°﹣∠BAC）＝1/2（180°﹣80°）＝50°；
（3）如圖，設∠AOB、∠AEF、∠BFE的角平分線交於點Q，
作QN⊥OB於N，QM⊥OA於M，QH⊥EF於H．連接QP．
圖2
則QN＝QH＝QM＝y，FH＝FN，EH＝EM，
∴△OEF的周長：OE+OF+EF＝OF+FN+OE+EM＝ON+OM＝QN+QM＝2QN＝2y，
∵PDOC是矩形，且PD＝20，PC＝10，
∴ND＝y﹣10，CM＝y﹣20，
∴QP2＝（y﹣10）2+（y﹣20）2
∵PQ≥QH，
∴（y﹣10）2+（y﹣20）2≥y2
∴y2﹣60y+500≥0，
∴（y﹣30）2≥400，
∴y≥50或y≤10（舍），
∴2y≥100，當且僅當P、H重合時取等號．
即△OEF的周長的最小值為100．
圖3
圖4
【總結】
這道題屬於三角形綜合題，主要考查了三角形角平分線的性質及其應用．第三問是本題的難點，將△OEF的周長轉化為用正方形邊長表示同時利用“斜邊大於等直角邊”原理列出不等式是解決這道題的關鍵．
圖5
