「中考複習」相似三角形的綜合題，尋找比例關係等比代換是關鍵

在中考綜合題中，注意相似知識的靈活運用，尤其能通過相似得到比例式，從而將未知線段用含字母的代數式表示出來，並熟練掌握等比代換、等量代換技巧的應用，培養綜合運用知識的能力.

【題目呈現】

1.如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點(DP

(1)求證:AD²=DP×PC;

(2)請判斷四邊形PMBN的形狀，並說明理由;

(3)如圖2，連接AC，分別交PM，PB於點E，F.若DP/AD=1/2，求EF/AE的值.

【分析】(1)見乘積式化比例式，三點定型法確定相似三角形，∵∠APB=90°，∠D=∠C=90°，是一線三直角模型，易證△ADP∽△PCB，∴AD/PC=DP/BC，而BC=AD，可得AD²=DP×PC.

(2)四邊形PMBN為菱形，理由:∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P，∴∠APD=∠APM，∵CD∥AB，∴∠APD=∠PAM，∴∠APM=∠PAM，∵∠APB=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∠APM+∠BPM=90°，∴∠PBA=∠BPM，∴PM=MB，又易證四邊形PMBN為平行四邊形，∴四邊形PMBN為菱形.

(3)∵DP/AD=1/2，可設DP=a，AD=2a，由AD²=DP×PC，得PC=4a，∴DC=AB=5a，∵∠APM=∠PAM，PM=AM，∵PM=MB，∴AM=MB=5a/2，易證△BFA∽△PFC，∴AF/CF=AB/CP=5a/4a=5/4，∴AF/AC=5/9，同樣易證△MEA∽△PEC，∴AE/CE=AM/CP=(5a/2)/4a=5/8，∴AE/AC=5/13，∴EF/AC=AF/AC一AE/AC=5/9一5/13=20/117，∴EF/AE=(EF/AC):(AE/AC)=(20/117):(5/13)=4/9.

第三問也可這樣做:過點F作FG∥PM，交MB於點G，如下圖:

還設DP=a，AD=2a，由AD²=DP×PC，得PC=4a，則DC=AB=5a，MA=MB=5a/2，易得△PFC∽△BFA，∴PF/BF=CP/AB=4/5，∵FG∥PM，MG/BG=PF/BF=4/5，∴MG/MB=4/9，∵AM=MB，∴MG/AM=4/9，∵FG∥PM，∴EF/AE=MG/AM=4/9.(這裡，利用AM=MB，成功地轉化出MG/AM=4/9，從而得到EF/AE).

2.如圖①，平行四邊形ABCD中，AB=AC，CE⊥AB於點E，CF⊥AC交AD的延長線於點F.

(1)求證△BCE∽△AFC;

(2)連接BF，分別交CE、CD於G、H(如圖②)，求證:EG=CG;

(3)在圖②中，若∠ABC=60°，求BC/GF.

【分析】第(1)問不難，抓住AB=AC這一條件，得∠EBC=∠ACB，而由四邊形ABCD是平行四邊形，易得∠ACB=∠CAF，∴∠EBC=∠CAF，則Rt△BCE∽Rt△AFC.

(2)看上去無從下手，我們從結論分析，要證EG=CG，由於AB∥CD，須證△BGE≌△HGC，這裡角的條件夠用，須找一組邊相等，考慮到EG=GH與條件聯繫太遠，須證BE=CH，而條件中只有平行線，AB=AC，須用相似的知識，用形式a/b=c/d，若b=d，則a=c，或a=c，則b=d，那麼相似比例關係又從何寫起呢？我們想到第(1)問的結論，△BCE∽△AFC，則BE/AC=BC/AF，這裡有線段BC，而要證BE=CH，所以想到△DHF∽△CHB，則CH/DH=BC/DF，觀察兩個比例式並分別變換，由BE/AC=BC/AF→BE/BC=AC/AF=AB/AF，由CH/DH=BC/DF→CH/BC=DH/DF，則只須證比例式的右邊相等即可，即AB/AF=DH/DF(這裡AB等量代換AC很關鍵)，觀察圖形，又AB∥CD，∴△HDF∽△BAF，∴AB/AF=DH/DF，從而BE/BC=CH/BC，∴BE=CH，接下來易證△BGE≌△HGC，∴EG=CG.

(3)相對容易，可得△ABC是等邊三角形，∵CE⊥AB，∴BE=AE=AB/2，∵BE=CH，AB=CD，∴CH=DH=CD/2=AB/2，∵AB∥DH，∴BH=FH，由(2)知BG=GH，∴BG:GF=1:3.

【總結】證明兩條線段相等，有好多方法，當條件較少，好多定理無法運用時，考慮用相似法，用上邊介紹的形式，而尋找比例關係相等代換往往是關鍵的環節，望同學們體會。