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很多同學對遞歸算法的時間複雜度都不甚瞭解
同一道題目，同樣使用遞歸算法，有的同學寫出了O(n)的代碼，有的同學就寫出了O(logn)的代碼
這是為什麼呢， 就是因為對遞歸的時間複雜度理解的不夠深入導致的
這裡我想通過一道簡單的面試題，來帶大家逐步分析遞歸算法的時間複雜度，最後找出最優解。
來看一下這道面試題：求x的n次方
大家想一下這麼簡單的一道題目 代碼應該如何寫。
最直觀的方式應該就是，一個for循環求出結果，代碼如下
<code>int function1(int x, int n) {
int result = 1; // 注意 任何數的0次方等於1
for (int i = 0; i result = result * x;
}
return result;
}/<code>時間複雜度為O(n)
此時面試官會說，有沒有效率更好的算法呢。
如果同學們此時沒有思路，建議不要說：我不會，我不知道。可以和麵試官探討一下，問：可不可以給點提示。
面試官一般會提示：考慮一下遞歸算法
有的同學就寫出瞭如下這樣的一個遞歸的算法，使用遞歸解決了這個問題
<code>int function2(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1; // return 1 同樣是因為0次方是等於1的
}
return function2(x, n - 1) * x;
}/<code>面試官問：那麼這份代碼的時間複雜度是多少？
有的同學可能一看到遞歸就想到了logn，其實並不是這樣
遞歸算法的時間複雜度本質上是要看: 遞歸的次數 * 每次遞歸中的操作次數
那我們再來看代碼，我們遞歸了幾次呢。
每次n-1，遞歸了n次 時間複雜度是O(n)，每次進行了一個乘法操作，乘法操作的時間複雜度一個常數項O(1)
所以這份代碼的時間複雜度是 n * 1 = O(n)
這個時間複雜度可能就沒有達到面試官的預期。
於是同學又寫出了這樣的一個遞歸的算法的代碼如下 ，來求 x的n次方
<code>int function3(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
if (n % 2 == 1) {
return function3(x, n/2) * function3(x, n/2)*x;
}
return function3(x, n/2) * function3(x, n/2);
}/<code>面試官看到後微微一笑，問這份代碼的時間複雜度又是多少呢？
我們來分析一下
首先看遞歸了多少次呢，可以把遞歸的次數 抽象出一顆滿二叉樹。
我們剛剛寫的這個算法，可以用一顆滿二叉樹來表示（為了方便表示 我選擇n為偶數），如圖：
當前這可二叉樹就是求x的n次方，n為16的情況
n為16的時候 我們進行了多少次乘法運算呢
這棵樹上每一個節點就代表著一次遞歸併進行了一次相乘操作
所以 進行了多少次遞歸的話，就是看這棵樹上有多少個節點。
熟悉二叉樹的同學應該知道如何求滿二叉樹節點數量
這顆滿二叉樹的節點數量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15
有同學就會發現 這其實是等比數列的求和公式， 如果不理解的同學可以直接記下來這個結論。
這個結論在二叉樹相關的面試題裡也經常出現。
這麼如果是求x的n次方，這個遞歸樹有多少個節點呢，如下圖所示
時間複雜度忽略掉常數項-1之後，我們發現這個遞歸算法的時間複雜度依然是O(n)。
此時面試官就會問， 貌似這個遞歸的算法依然還是O(n)啊， 很明顯沒有達到面試官的預期
那麼在思考一下 O(logn)的遞歸算法應該怎麼寫
這裡在提示一下 上面剛剛給出的那份遞歸算法的代碼，是不是有哪裡比較冗餘呢。
來看這份優化後的遞歸算法代碼
<code>int function4(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int t = function4(x, n/2);// 這裡相對於function3，是把這個遞歸操作抽取出來
if (n % 2 == 1) {
return t*t*x;
}
return t*t;
}/<code>那我們看一下 時間複雜度是多少
依然還是看他遞歸了多少次
我們可以看到 這裡僅僅有一個遞歸調用，且每次都是 n/2
所以這裡我們一共調用了 log以2為低n的對數次
每次遞歸了做都是一次乘法操作，這也是一個常數項的操作，
所以說這個遞歸算法的時間複雜度才是真正的O(logn)。
如果同學們最後寫出了這樣的代碼並且時間複雜度分析的非常清晰，相信面試官是比較滿意的。
最後希望通過這麼一個簡單的面試題，讓大家愛真正瞭解了遞歸算法的時間複雜度該如何分析。
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