今天給大家分享運用旋轉變換解決線段間數量問題。
例題
如圖15-1,在四邊形ABCD中，BA =BC,∠ABC = 60°,∠ADC=30°,連接對角線BD,點E是對角線BD上一點，且滿足∠AEC =150°.連接EA和EC,試探究EA、EB、EC之間的數量關係.並加以證明.
圖15-1
例題剖析
連接AC,可證明△ABC為等邊三角形，將線段CE繞點C順時針族轉60°,得到線段CF,連接EF、AF,可以證明△CEF是等邊三角形，可得△BCE≌△ACF，可證明△AEF是直角三角形，再結合勾股定理證明即可.
例題解析
判斷：EA²+EC²=EB².
證明：如圖15-2.連接AC.
因為BA = BC,且∠ABC = 60°，
所以△ABC為等邊三角形.
所以 ∠ACB=60°且 CA =CB.
將線段CE繞點C順時針旋轉60°,得到線段CF,
圖15-2
連接FA、FE.
因為CF=CE,且NFCE=60°,所以△CEF是等邊三角形.
所以∠CEF=60°,且 EF=CE,可知∠BCE = ∠ACF.
所以△BCE≌△ACF，則FA=EB.
因為 ∠AEC = 150°, ∠CEF=60°，所以∠AEF=90°，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得EA²+EF²=FA²,
所以 EA²+EC²=EB².
知識歸納
在解題過程中，常常因為條件和結論中的元素之間的關係不明確而使得問題難以解決，如果把給定圖形中的一部分或者整個圖形繞某一個點旋轉適當的角度，就可能使分散的邊、角、面積集中或者轉移，並使得關係清晰，將原本分散或交叉的條件重新整合集中到新的圖形中，為尋找突破口，進而得到添加輔助線的方法提供思路，因為旋轉前後，對應圖形全等，旋轉角相等，所以旋轉可以構造等腰三角形，可以構造相似三角形，可以構造直角三角形等。如本例題就是通過詮轉，將分散線段集中到一個直角三角形中，通過勾股定理'得到線段之間的關係。
旋轉變換常藉助等邊的條件，因此特別適用於涉及中點、等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形等對稱圖形，這些圖形中具備了栩等的線段，且相等的線段有公共端點，即共點線段，此處的公共端點提供了旋轉中心，而相等的線段提供了旋轉的角度和保證了旅轉的重合性.
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